必须深研的基本图形之'60°的角'——命题老师的最爱（4）

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根据对称性和垂线段最短，可添加如下辅助线（常法，本公众号有多篇类似文章），得如下图结论（其中△AA’C是等边三角形）：

所以2AD+DC＝2（AD+DE）≥6，

即2AD+DC的最小值为6．

法二：如下图：

可得2AD+DC＝DE+DC．

再添加如下图的辅助线('旋转相似'):

通过相似，可证得：点G为BC的中点，∠EFD＝90°（定角），进一步,得：当点D在BC边上运动时，点E在过点F且垂直于BC的直线运动，根据'垂线段最短',得：DE+DC的最小值的位置在点F（对应的点D在点G——BC边的中点）……

（以下拓展仅作为教研参考，不提供答案，有兴趣的朋友可留言讨论.）

【拓展1】如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若点D是BC边所在的直线上的动点，求2AD+BD的最小值．

【拓展2】如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若点D是BC边所在直线上的动点，求AD+2DC的最小值．

【拓展3】如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若点D是BC边所在直线上的动点，求3AD+DC的最小值．

【拓展4】如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若点D是BC边所在直线上的动点，求3AD+4DC的最小值．

【练习5】如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8，M、N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为8，则∠AOB＝______.

【图文解析】

答案：30°．

（以上拓展仅作为教研参考，不提供答案，有兴趣的朋友可留言讨论.）

再了解等边三角形……

【例2】如图，在等边△ABC和等边△DEF中，FD在直线AC上，BC＝3DE＝3，连接BD，BE，求BD+BE的最小值．

【法一】

得BD+BE＝DN+DM≥MN．

由勾股定理，得MN=√37．

综上，BD+BE的最小值为√37．

【法二】

（与法一本质相同）

（以下拓展仅供教研使用，不提供答案，有兴趣的朋友可留言讨论）

【拓展1】如图，在等边△ABC和等边△DEF中，FD在直线AC上，BC＝3DE＝3，连接AE，BF，求AE+BF长的最小值．

【拓展2】如图，在等边△ABC和等边△DEF中，FD在直线AC上，BC＝3DE＝3，连接BD，CE，求BD+CE长的最小值．

【拓展3】如图，在等边△ABC和等边△DEF中，FD在直线AC上，BC＝3DE＝3，连接BD，BF，CE，AE，求AE+BD+BF+CE长的最小值．

【拓展4】如图，在等边△ABC和等边△DEF中，FD在直线AC上，BC＝3DE＝3，H是DE的中点，连接CH，BF，AE，求AE+ CH+BF长的最小值．

【拓展5】如图，在等边△ABC和正方形DFGH中，边FD在直线AC上，BC＝3DF＝3，连接BH，CG，求BH+CG长的最小值．

（以上拓展仅供教研使用，不提供答案，有兴趣的朋友可留言讨论）

【练习2】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝_______.

【解析】如下图解：

答案为：112°．

【练习3】如图，已知正方形ABCD的边长为5，l是过点A的任意一条直线，点M是点D关于直线l的对称点．连接CM，则线段CM长度的最大值是　　．

【解析】如下图解：

答案为：CM的最大值为5√2+5．

进一步：与60°相关的准特殊角

【例3】如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝2，BE＝2，AB＝4，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是　　．

【图文解析】

通过对称巧妙转化．

易得DF＝FG＝GE＝2，根据“垂线段最短”，得：当点D、F、G、E四点共线时，DE的长最大，如下图示：

所以DE的最大值为6．

小结：

（以下拓展仅供教研使用，不提供答案，有兴趣的朋友可留言讨论）

【拓展1】如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝2，BE＝2，AB＝4，点C为AB的中点，若∠DCE＝150°，则DE的最大值是　　．

【拓展2】如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝2，BE＝2，AB＝4，点C为AB的中点，若∠DCE＝105°，则DE的最大值是　　．

【拓展3】如图，AD，BE在AB的同侧，点C在AB上，AC＝AD＝2，BC＝BE＝4，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是　　．

【拓展4】如图，AD，BE在AB的同侧，点C在AB上，AC＝AD＝2，BC＝BE＝4，若∠DCE＝105°，则DE的最大值是　　．

（以上拓展仅供教研使用，不提供答案，有兴趣的朋友可留言讨论）

再深入一步：另一角度理解

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