同余（三）

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整数与整除问题

知识准备

      我们知道 10=-1+11，所以 

               10≡-1（mod 11）.

根据同余的性质可知

     10²≡（-1）（-1）≡1（mod 11）

               10³≡-1（mod 11）

                10⁴≡ 1（mod 11）

以此类推     ……

命题  一个数能被11整除当且仅当这个整数的偶数位数字之和与奇数位数字之和的差能被11整除

证明  

例子 121=1×10^2+2×10+1

       因为   1-2+1 ≡0（mod 11）.

       所以  11|121.

命题1 一个数能被3整除当且仅当这个整数各位数字之和能被3整除。

命题2 一个数能被9整除当且仅当这个整数各位数字之和能被9整除。

这两个命题的证明比11的还要简单，因为

                 10ⁿ≡ 1（mod 3或9）

其余步骤请读者补全。