整数与整除问题

整除问题很常见，本期简单梳理。

一、整数

整数分为三类：正整数、0、负整数。0和正整数也叫自然数。

二、带余除法与整除

定义1   设m是非零整数，n是任意整数，则可以唯一确定整数q和r,

使得

                       n=m×q+r  （0≤r＜|m|）

即

                       n÷m=q……r  （0≤r＜|m|）

其中q和r分别称为商和余数。

例如    设m=3，n=7数，则可以唯一确定整数2和1,

使得

                         7=3×2+1 

即

                         7÷3=2……1 

商为2和余数为1。

定义2   设m（≠0）、n是两个整数，若存在一个整数q，使得

                          n=m×q

则称m整除n，或n被m整除。记为m|n。即m是n的约数，n是m的倍数。

例如    2|4 ，  7|77 ，  3|9。

推论3    m|n的充分必要条件是r=0，r是n除以m的余数。

三、整除的性质

设x、y、z是整数

1.  x|x；（x=x×1）

2. 若x|y, y|x 则x=y或x=-y；

3. 若x|y, y|z 则x|z;

4. 若x|y  则x|y·z;

5. 若x|y , x|z 则x|my+nz  （m、n都是整数）;

6. 若z≠0，x·z|y·z  则x|y;

7. 若x|z, y|z，(x,y)=1 则x·y|z;

例如  2|12 ，3|12，（2,3）=1 则有 2·3|12

我们给出第6条的证明（1-5尝试自己证明），第7条的证明以后单独给出。

6. 若z≠0，x·z|y·z  则x|y。

证：根据已知x·z|y·z，可知存在q，使得

                   y·z=x·z·q

                   y·z=x·q·z

       根据消去律则有

                        y=x·q

       所以x|y。

四、整除的判别

1. 一个数能被2整除当且仅当这个整数的末位数字能被2整除；

2. 一个数能被3整除当且仅当这个整数各位数字之和能被3整除；

3. 一个数能被4整除当且仅当这个整数的末两位数字组成的数能被4整除；

4. 一个数能被5整除当且仅当这个整数的末位数字是0或5；

5. 一个数能被8整除当且仅当这个整数的末三位数字组成的数能被8整除；

6. 一个数能被9整除当且仅当这个整数各位位数字之和能被9整除；

7. 一个数能被10整除当且仅当这个整数的末位数字是0；

8. 一个数能被11整除当且仅当这个整数的偶数位数字之和与奇数位数字之和的差能被11整除；

9. 一个数能被16整除当且仅当这个整数的末四位数字组成的数能被16整除；

看到本文的中小学生，可以尝试给出性质与判别的证明。特别是性质的证明可以作为练习。