中考数学压轴题分析：几何求值问题

本文内容选自2021年上海中考数学压轴题。本题以梯形为背景，考查线段求值问题，题目涉及三角函数与相似等。题目难度适中，解法多样，值得研究。

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【中考真题】

（2021·上海）如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，联结并延长交边或边于点．
（1）当点在上，
①求证：；
②若，求的值；
（2）若，，求的长．

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【分析】

（1）①因为两个三角形是等腰三角形（根据斜边中线的性质可以得到OB=OC），因此只需有一对底角相等即可。

②由①的结论可以得到∠OBC=∠OCB=∠ACD，当BE与CD垂直时，可以发现∠BCD为60°，那么就可以作梯形ABCD的高，得到高和CD的比值为√3:2，进而得到结论。

（2）由于E有可能在CD上也有可能在AD上，那么情况就可以分为两种进行讨论。

①如下图所示，当E在AD上时，图形较为简单。可以设CD的长，进而表示出AE的长，再利用矩形对角线的性质可以得到AC与BE的长，然后用勾股定理建立等量关系进行求解即可。

②当点E在CD上时，与原图变化不大。依然可以设CD为x，则可以表示出CE的长。

根据图形的特点，可以作辅助线如下图所示。易得两个绿色的三角形相似，然后用x表示各个边长，利用△ADC与△AOF相似即可得到等量关系进行求解。

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【答案】（1）①证明：如图1,

，
．
，
．
是斜边上的中线，
，
，
，
；
②解如图2，若，

在中，，
．
过点作于点，
设，则，
在中，，
，
,
；
（2）①如图3，当点在上时，

，
，，
是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形．
设,
,
,
,
,
在和中, ,,
,
解得,或 (舍去)．
．
②如图4,当点在上时,设,则,

设,
,
,
,
,
,
．
又,,
,
,
,
,
,
将代入,
整理得, ,
解得,或 (舍去)．
．
综合以上可得的长为或．