本文内容选自2021年上海中考数学压轴题。本题以梯形为背景,考查线段求值问题,题目涉及三角函数与相似等。题目难度适中,解法多样,值得研究。
【中考真题】
(2021·上海)如图,在四边形中,,,,是对角线的中点,联结并延长交边或边于点.
(1)当点在上,
①求证:;
②若,求的值;
(2)若,,求的长.
【分析】
(1)①因为两个三角形是等腰三角形(根据斜边中线的性质可以得到OB=OC),因此只需有一对底角相等即可。
②由①的结论可以得到∠OBC=∠OCB=∠ACD,当BE与CD垂直时,可以发现∠BCD为60°,那么就可以作梯形ABCD的高,得到高和CD的比值为√3:2,进而得到结论。
(2)由于E有可能在CD上也有可能在AD上,那么情况就可以分为两种进行讨论。
①如下图所示,当E在AD上时,图形较为简单。可以设CD的长,进而表示出AE的长,再利用矩形对角线的性质可以得到AC与BE的长,然后用勾股定理建立等量关系进行求解即可。
②当点E在CD上时,与原图变化不大。依然可以设CD为x,则可以表示出CE的长。
根据图形的特点,可以作辅助线如下图所示。易得两个绿色的三角形相似,然后用x表示各个边长,利用△ADC与△AOF相似即可得到等量关系进行求解。
【答案】(1)①证明:如图1,
,
.
,
.
是斜边上的中线,
,
,
,
;
②解如图2,若,
,
,,
是的中点,
,
,
,
四边形是平行四边形,
又,
四边形是矩形.
设,
,
,
,
,
在和中, ,,
,
解得,或 (舍去).
.
②如图4,当点在上时,设,则,
设,
,
,
,
,
,
.
又,,
,
,
,
,
,
将代入,
整理得, ,
解得,或 (舍去).
.
综合以上可得的长为或.
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