草根思考|由“旋转、放缩”所产生的一类相似问题

祝大家新年快乐，虎年健康如意

构思此文已有数月，总觉得还有问题没想清楚.寒假期间，闲时想想画画，逐渐捋出一些脉络，供大家参考.

当三角形先绕一顶点旋转一个角度（旋转角不等于180°的倍数），再以此顶点作为中心，缩放变换后，产生一组相似三角形：△ABC∽△DEC.

由此得一组比例线段，再配上一组夹角相等，得到另一组相似三角形：△ACD∽△BCE，其实后一组相似三角形也可以认为是通过旋转、放缩变换所得。这两组相似三角形互为先后，都带来很多组等角，拉开了很多精彩数学问题的序幕：

类型一：产生“交错八字形”

一道“陈年”压轴题✦

分析

从图形变换角度去思考此题，可理解为将△ADE绕点A顺时针旋转90°后进行“缩放”变换，可得:△ADE∽△AFB.

由此：AF:AE=AB:AD，

加之∠DAE=∠FAB，

联结DB，得△AFE∽△ABD，

所以∠ADB=∠AEF，∠AEF是定角！

将△AGE三个内角的内切值用常数或代数式表示出来，由于每两个角都有可能相等，可列出三个方程，解方程，符合题意的解即是本题第三问的结论之一.

进一步探讨

联结AP，

由∠ADH=∠AFP，

得：△ADH∽△PEH，

可得：AH:HP=HD:HE，

加一组对顶角相等，得：△APH∽△DPE.

这两组“交错八字型”相似，相依相存，其背后就是点A、D、E、P四点共圆，于是进一步可得到：

∠APE=90°，∠PAE=∠PDE等结论.

时光来到了2017年1月，浦东新区初三上数学统考…

这道题开局与上题神似，同样由“旋转”、“缩放”变换产生了两组相似三角形.继续观察第2问，这个∠MAG虽处在Rt△AGM中（∠AGM=90°也并非轻易可以发现），但该三角形没有一条边是好求的，怎么办？

但凡数学问题中出现难办的局面，观察、转换、构造是三条常用的解困之策.

由△AEF∽△ABD，得∠AFM=∠ADG，由此又带来了两组相似：△AMF∽△GMD、△AMG∽△FMD，本题的神来一笔也浮出水面，即∠MAG即可转化为∠GFD，于是本题的第2问也就可以轻松处理了.

类型二：重组“直角三角形”

2019年1月浦东数学统考第25题✦

视频详解

注：以下视频来自于浦东新区名师面对面系列课程，该视频版权归浦东教师发展学院，在拍摄过程中也得到了很多专家和朋友的帮助，在此一并表示感谢.

进一步探讨

我认为本题的核心是：∠CAB+∠CBA=90°，然后通过等角变化，重组出Rt△DBE（第2问）和Rt△ABE（第3问）

“ 小结

我们总是希望寻找一条解决一切问题的坦途，但实际上，没有！所以世界万物总会留下些许空间，供后来人思考、探索.

就“旋转、缩放”形成的一类相似三角形问题而言，两组相似三角形是常态，从而会产生很多组等角，而这些等角在不同题境下，会产生不同的作用，比如，通过等角变化，将一个直角三角形的两个锐角重组，产生了新的直角三角形；又比如，两组等角正好构成一组“交错八字形”相似，而“交错八字形”相似一般是相依相存，又会产生新的相似、新的等角……

对！其中等角是关键，标注等角、观察、分析等角在不同“题境”中作用，就是打开这类问题的钥匙！

这就是压轴题，老师能教“基本图形”、能教“分析策略”，但最后关键一步只能考自己去观察、去分析！