巧构全等 拼接线段求最值

原题再现

如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且AB＝4，OB＝3．

（1）试判断△AOB的形状，并说明理由．

（2）点P是线段OA上一点，且PB－PA＝1，求点P的坐标；

（3）如图2，点C、点D分别为线段OB、BA上的动点，且OC＝BD，

求AC＋OD的最小值．

图文解析

在x轴上取AE=1，作BE的垂直平分线交x轴于点P

构造全等转化线段OD，将不共端点的两线段拼接，利用最值知识源“两点之间线段最短”求不共端点的两线段和的最小值问题.

过O作OE⊥OB，且OE=OB，连接CE，则易证△EOC≌△OBD，于是EC=OE，故OD+AC=EC+AC.

还可构造全等转化线段AC，将不共端点的两线段拼接，利用最值知识源“两点之间线段最短”求不共端点的两线段和的最小值问题.

过B作∠EBA=∠COA，且BE=OA，连接DE，则易证△AOC≌△BED，于是ED=AC，故OD+AC=OD+DE.