中考数学压轴题分析：中位线定理与手拉手模型

本文内容选自2021年广元中考数学几何压轴题。本题等腰直角三角形为背景，考查旋转产生的问题，综合中位线定理与动点产生的最值问题。题目典型，值得学习。

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【中考真题】

（2021·广元）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上一点（含端点A、B），过点B作BE垂直于射线CD，垂足为E，点F在射线CD上，且EF＝BE，连接AF、BF．

（1）求证：△ABF∽△CBE；
（2）如图2，连接AE，点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN．求∠PMN的度数及的值；
（3）在（2）的条件下，若BC，直接写出△PMN面积的最大值．

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【分析】

（1）根据两个等腰直角三角形，得到一组相似三角形，根据两边成比例且夹角相等即可进行证明。

（2）在（1）的基础上面进行求解即可。根据中位线定理进行转化。

（3）有了前面两小题的基础，那么久可以得到三角形PMN的面积用CE来表示当CE最大时面积最大。由于始终有∠BEC为90°，所以点E的轨迹为BC为直径的圆上，当E与B重合时CE最大，此时求出面积即可。

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【答案】（1）证明：如图1中，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，EF＝EB，∠BEF＝90°，
∴∠CBA＝∠EBF＝45°，ABBC，BFBE，
∴∠CBE＝∠ABF，，
∴△ABF∽△CBE．
（2）解：如图2中，延长PM交AF于T．

∵BE⊥CF，
∴∠CEB＝90°，
∵△ABF∽△CBE，
∴∠CEB＝∠AFB＝90°，，
∴AFEC，
∵∠EFB＝45°，
∴∠AFC＝45°，
∵AP＝PC，AM＝ME，
∴PT∥CF，PMEC，
∵AM＝ME，EN＝NF，
∴MN∥AF，MNAF，
∴四边形MNFT是平行四边形，MNPM，
∴∠TMN＝∠AFC＝45°，
∴∠PMN＝135°，
∴．
（3）解：∵MNPM，∠PMN＝135°，PMEC，
∴当EC的值最大时，PM的值最大，此时△PMN的面积最大，
∵当点E与B重合时，EC的值最大，EC的最大值为，
此时PM，MNPM＝1，
∴△PMN的面积的最大值为1．