中考数学压轴题分析：手拉手模型与几何求值问题

本文内容选自2021年眉山中考数学几何压轴题。本题以正方形与等腰直角三角形为背景，涉及几何求值问题。本题模型经典，可以有多种变形与问法，可以进行拓展延伸。

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【中考真题】

（2021·眉山）如图，在等腰直角三角形中，，，边长为2的正方形的对角线交点与点重合，连接，．
（1）求证：；
（2）当点在内部，且时，设与相交于点，求的长；
（3）将正方形绕点旋转一周，当点、、三点在同一直线上时，请直接写出的长．

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【分析】

（1）手拉手模型，用SAS进行证明全等。

（2）当∠ADC=90°时，可以得到三角形ADC的三边长，此时DM为∠ADC的平分线，可以利用勾股定理、相似与三角函数等进行求解。可以考虑过点M往两边作垂线，也可以根据面积关系得到AD、DC的比和AM、CM的比是一样的，直接得出AM的长度。问法简单、解法多样，题目经典。

（3）由于是旋转一周，所以三点共线需要分类讨论，分别为点D在A、E之间，或点E在A、D之间。利用勾股定理等进行求解即可，难度不大。

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【答案】解：（1）如图1，四边形是正方形，
，；
，
，
在和中，
，
．

（2）如图1，过点作于点，则．
，，
，
，
，
；
，，
，
，
，
；
，
，
．

（3）如图3，、、三点在同一直线上，且点在点和点之间．
，，
；
由，得，
，
点、、在同一条直线上，
，
，且，，
，
解得或（不符合题意，舍去）；

如图4，、、三点在同一直线上，且点在的延长线上．
，，，
，
，
，
，
点、、在同一条直线上；
，，，
，
；
，
，
解得或（不符合题意，舍去）．
综上所述，的长为或．