''PA kPB''模型最值问题（胡不归）

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垂线段最短是初中数学解决线段（之和）最小值问题的理论知识之一，它的特点是从定点出发到动点结束，经常和轴对称和锐角三角函数结合起来进行考查。

七年级，垂线段最短基本模型：求AP最短

当AP垂直BC时，线段AP最短

条件：垂直

八年级，垂线段最短基本模型的变式1：求AP+PQ的最小值

当A、P、Q三点共线且垂直于BC时，AP+PQ的值最小。

条件：A、P、Q三点共线（折线变直线）+垂直

九年级，垂线段最短基本模型的变式2：求AP+BPsinα的最小值

过P点作PQ⊥BC于Q，线段PQ=BPsinα，转化成AP+PQ线段之和最短。当A、P、Q三点共线且垂直于BC时，AP+PQ的值最小。

条件：A、P、Q三点共线（折线变直线）+垂直

          

实战演练1：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，点P、Q分别是BD、CD上的动点，求CP+PQ最小值？

解答：作出C点关于BD的对称点，即A点，连接AP，求CP+PQ最小值转化为AP+PQ最小值。（垂线段最短基本模型的变式1）

当A、P、Q三点共线且垂直于DC时，AP+PQ的值最小。

易得AQ是等边三角形ACDCD边上的高，即CP+PQ的最小值为3√3

此题是垂线段最短基本模型的变式1和轴对称的综合考查。

实战演练2：在平面直角坐标系中，点A（1,4）、B为y轴上的一个动点，求AB+0.5BO的最小值？

分析：关键是对数据0.5的处理，联系学过的锐角三角函数sin30°=0.5，

可以原点O为顶点在第二象限作一条射线与y轴成30°。求AB+0.5BO的最小值转化为求AB+BC的最小值。

当A、B、C三点共线时达到最小值，如下图

根据A(1,4）可求出DE=4/3√3，DO=8/3√3，DA=4/3√3+1，再利用面积法求得AC=2+√3/2

拓展，如果把1/2改为√2/2、√3/2，你将如何解决呢？

此题是垂线段最短基本模型的变式2与锐角三角函数的综合考查。