中考数学压轴题分析:瓜豆原理与几何最值问题

本文内容选自2021年遂宁中考数学几何压轴题。本题以圆为背景，涉及动点轨迹问题，考查几何最值。本题关键是确定动点的运动轨迹。

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【中考真题】

（2021·遂宁）如图，的半径为1，点是的直径延长线上的一点，为上的一点，，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求的面积；
（3）点在上运动（不与、重合），过点作的垂线，与的延长线交于点．
①当点运动到与点关于直径对称时，求的长；
②当点运动到什么位置时，取到最大值，并求出此时的长．

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【分析】

（1）有交点连圆心证垂直。本题中易得∠ACD=∠B，其实是弦切角问题。

（2）求出边长再作高即可，难度不大。

（3）①先确定点E的位置，再根据相似可以得到CF的长。

②在点E运动过程中∠ECF始终不变，CE与CF的比值也不变，那么点E的运动轨迹与点F的运动轨迹是相似的。点E在圆弧上运动，所以点F的轨迹也是圆弧。以CO为边构造一个与三角形ECF相似的三角形，得到点F的运动轨迹的圆心O′，那么当点C、O′、F三点共线时CF最大，此时CE也是最大。

本题是大家常见的瓜豆原理的应用。

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【答案】（1）证明：连接，如图1，

，，
，
，
，
，
，
是半径，
直线是的切线；
（2）解：，，
是等边三角形，
，
作于点，则，如图2，

，
，
．
（3）①当点运动到与点关于直径对称时，于点，如图3，

为的直径，
，
，
，
，
，
②点在上运动过程中，，
在中，，
，
当最大时，取得最大值，
当为直径，即时，最大，最大值为．

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