中考数学压轴题分析：二次函数含参问题与面积平分问题

本文内容选自2021年福建中考数学压轴题。以含餐二次函数为背景，考查最值问题和面积平分问题，难度中等，是近几年中考命题的趋势，要仔细研究。

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【中考真题】

（2021·福建）已知抛物线与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；
（2）已知点中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，且∠MAN＝90°，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．

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【分析】

（1）将点P的坐标代入解析式中，得出a和b的关系式，再根据与x轴只有一个公共点，用b表示出a+b的值，再求最小值。
（2）①由题意得出抛物线与x轴只有一个交点，所以抛物线上的点在同一侧，可以得到两点只能为P1，P3，代入求出抛物线的解析式。
②根据题意先设出点A的横坐标，然后用含k的式子表示出A的横坐标，再证明AB＝BC即可得出△MAB与△MBC的面积相等。

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【答案】解：（1）把P（0，1）代入解析式得：c＝1，
∴，
又∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴，即，
∴，
当b＝﹣2时，有最小值为﹣1；
（2）①∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴抛物线上的点在x轴的同一侧或x轴上，
∴抛物线上的点为，
又∵关于y轴对称，
∴顶点为原点（0，0），
设解析式为，
代入点得：，
②证明：
联立直线l和抛物线得：

，
即：，
设，
由韦达定理得：，
设线段MN的中点为T，设A的坐标为（m，﹣1），
则T的坐标为（），
∴，
由题意得：，
∵△MAN是直角三角形，且MN是斜边，
∴，即：，
∴，
解得m＝2k，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴B是AC的中点，
∴AB＝BC，
又∵△MAB与△MBC的高都是点M到直线AC的距离，
∴△MAB与△MBC的高相等，
∴△MAB与△MBC的面积相等．

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