中考数学压轴题分析：二次函数与面积最大问题

本文内容选自2021年贺州中考数学压轴题。以二次函数为背景，考查面积的最值，本题实质是考查二次函数的取值范围。难度不大，但问法比较别致。

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【中考真题】

（2021·贺州）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的函数达式；
（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；
（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令面积的最大值（可含a表示）．

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【分析】

（1）把点A的坐标和对称轴代入到解析式中，解方程即可。

（2）设直线l的解析式，再代入点A的坐标，与二次函数进行联立。然后得到点C的坐标，再根据∠CAB=45°，可以得到横纵坐标的关系，进而得到点C的坐标。

当然通过∠CAB=45°即可得到l的直线解析式中k=1，代入点A其实就知道l的解析式了。然后联立求点C的坐标也不难。

（3）因为CD与x轴平行，那么观察图形可以得到当点P的纵坐标最小时面积最大。需要根据a的取值范围得到点P纵坐标的最值。本题需要分情况讨论，当a≤2时，此时x=a是去最值。当a＞2时，顶点处最大。

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【答案】解：（1）抛物线过A（﹣1，0），对称轴为x＝2，
∴

，
解得，
∴抛物线表达式为；
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，

∵∠CAB＝45°，
∴AE＝CE，
，
∴，
代入得，
，
解得，
∴，
∴点C的坐标是（6，7）；
（3）由（2）得C的坐标是（6，7），
∵对称轴x＝2，
∴点D的坐标是（﹣2，7），
∴CD＝8，
∵CD与x轴平行，点P在x轴下方，
，
则，
∴当取最大值时，△PCD的面积最大，
∵1≤xp≤a，1≤a≤5，
①当时，，此时在上y随x的增大而减小，
∴，
∴，
∴的最大面积为：
；
②当时，此时的对称轴含于内，
∴，
∴，
∴△PCD的最大面积为，
综上所述：当时，△PCD的最大面积为；
当2≤a≤5时，△PCD的最大面积为64．

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