中考数学压轴题分析：二次函数与面积比的最值问题

本文内容选自2021年柳州中考数学压轴题。以二次函数为背景，考查面积比的最值问题，本质上利用相似得到线段比的最值。此类题目在往年也出现过。

【中考真题】

（2021·柳州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BE⊥OD，垂足为E，若BE＝2OE，求点D的坐标；
（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记△BMN的面积为，△ABN的面积为，求的最大值．

【分析】

（1）把三点的坐标代入解方程组即可得到解析式。

（2）根据BE=2OE，可以确定直线OE的解析式，然后联立二次函数的解析式即可。可以过点E作OB的垂线进行转化。

（3）发现两个三角形由公共边BN，那么就可以考虑把面积比转化为底AN与MN的比。此时就可以考虑构造相似进行求解。

方法1位过点B作AB的平行线与BC相交，得到一组相似进行转化。

方法二则分别过点A与M作AB的垂线，得到一组相似进行转化。

【答案】解：（1）依题意，设y＝a（x+1）（x﹣3），
代入C（0，）得：a·1·（﹣3），
解得：a，
∴；
（2）BE＝2OE，P为OB中点，
设OE为x，BE＝2x，
，
，
解得：（舍），
∴OE，BE，
过点E作TF平行于OB，

∴△ETO∽△OEB，
∴，
∴，
∴3TE，
解得：TE，
∴OT，
∴E（，），
∴直线OE的解析式为y＝﹣2x，
∵OE的延长线交抛物线于点D，
∴，
解得：（舍），
当x＝1时，y＝﹣2，
∴D（1，﹣2）；
（3）∵，
∴，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B，C两点代入得，
，
解得：，
∴直线BC的解析式为yx，
当x＝﹣1时，y·（﹣1）2，
∴F（﹣1，﹣2），
∴AF＝2，
设，
∴，
∴a0，
∴，

∴．

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