“画蛇添足”的“猜想证明”和“触类旁通”的“类比策略”

简析2021——2022郑州一模压轴23题的处理策略

王 桥

今天咱们评析下郑州一模压轴题第23题。

先看第题目：

【分析】这道题目，把尺规作图和几何证明与探究结合起来，模仿2021年河南中考压轴题的意图还是很明显的。我们不妨也先给这道题目贴下标签：

1、动态特殊四边形问题；

2、尺规作图；

3、双平模型；

4、旋转问题；

5、类比探究；

6、从特殊到一般与从一般到特殊；

7、构造手拉手

8、分类讨论；

9、.....

我们再从已知条件出发，进行发散思维，充分挖掘一下条件。

首先，由平行四边形ABCD，可得AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC。根据尺规作图，可得DE平分∠ADC，即∠ADE=∠CDE，因为AB∥CD，则∠AED=∠CDE，∴∠AED=∠ADE，∴AD=AE。

一是这个α是不确定的；二来，请注意：∠ADC的平分线是交射线AB于点E，即在没有图示的提醒下，这个平行四边形ABCD具有两个任意性：一是内角α的任意性；二是边的任意性，可能点E在边AB上，也可能点E在边AB的延长线上。

不过，题目中的α是确定的：

（1）如图1，则不需考虑点E在AB延长线上的情形；当α=120°时，则∠PEB=60°——是否立马想到△PEB是正三角形？——连接PB这条辅助线也是水到渠成的。让猜想AC和AP的数量关系，大概率要填“相等”！一是目测，二是度量，三是证明......

那么该怎么证明呢？有没有必要证明呢？这是道填空题啊！考场上自不必说，但是我们还是要知道为什么相等的，否则内心纠结的要死！

先猜想再证明，也是数学研究的基本策略啊！

我们不妨就从这个猜想出发——如果AP=AC，这个△APC会不会恰好就是一个正三角形呢？——不妨连接下PC试下——好奇害死猫！如果连接PC，且△APC是正三角形，则△PBE和△PCA是不是就是“手拉手”了？根据“等腰旋转出全等”的策略，则△PBC≌△PEA——许多问题都是互逆的！如果△PBC≌△PEA，则可以说明△PBE和△PCA手拉手！证明如下：

明眼人早就看了出来：这里是通过构造△PBC≌△PEA，从而逆向构造了一对“手拉手”模型！

但是，一道填空题，这么兴师动众的，是不是有点画蛇添足的味道呢？别急，请看下面的问题！

（2）如图2，当α=90°，则∠BEP=45°，且也只需考虑点E在AB边上的情形。此时BF⊥DP，显然△BFE是等腰直角三角形！

第（2）问让求FAC的度数，我们仍然可以大胆猜测一下——45°。如何证明呢？“类比来了”！——继续逆向构造“手拉手”试一下。

如图，连接FC，仿照前面的证明，容易证明△FBC≌△FEA，则FC=FA，且∠BFC=∠EFA，∴∠BFE=∠CFA=90°，∴∠FAC=45°。

再看第2个小问题：猜想AF、AB、AD之间的数量关系。

当我们证明了△AFC是等腰直角三角形时，则AC=√2AF。又因为AD=BC。在Rt△ABC中，∵AB²+BC²=AC²，即AB²+AD²=AC²=2AF²；

下面是最黑的第（3）小问！虽然出题人慈悲的让我们直接写出结果，不用证明，但是我们还是希望不纠结，弄明白！

（3）请注意——第（3）小问没有图！前面的那句话“交射线AB于点E”就很耐人寻味，需要分类讨论。先画出符合题意的图形再说。

  当点E在AB边上时，仍然可以借助图1.

当点E在AB的延长线上时，如图。

呵呵，如果第（1）问一般的同学还可以蒙对的话，第（3）问这个数据，即便不让写过程，想蒙对可真的不容易啊！

关于“手拉手模型”和“辅助线的做法”，请参阅《春季攻势》第11讲和第15、16讲......

关于“类比思想”，请参阅《冲刺十招》第3讲“触类旁通学类比”！