2021河北一模25题

这次不多客套，直接上题：

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       这道题呢，是某位同志私信公众号询问的，这里我们单拿出来进行讲解，正好也为大家说明下这类题型的解法。

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先看第一问：

       题目给到一个二次函数，以及顶点M和与y轴交点C。第一问的题设是a=-1时。

       先看①：直接将抛物线C所过的两点代入解析式，就能求得b和c的值了。这里应该是b=2，c=3。再套公式求出顶点坐标，答案应该是（1,4）。

       再看②：这里给到了一个C1抛物线，与C关于x=3对称，并给到了C1上的两个点。求C的解析式。首先我们别忘了，我们有a=-1这个题设，然后还有C1上的两个点，我们就可以很简单的得到C1的解析式。这时候我们可以思考一下轴对称的性质：对应点到对称轴的距离相等。那么我们可以找一些特殊点，比如……顶点。C1的顶点坐标是（4,9），对称轴是x=3，所以我们可以得到C抛物线的顶点，为（2,9）。

      又∵5a=-1，∴

（ps：也可以把C1上的两个点先对称一下，然后解方程求出C解析式）

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       再来看第二问。这一问呢，属于“类型题”。可能大多数同学第一次看到这种题都比较懵：这**是个甚么东西？？？

       其实呢，我们可以将他转换成纯几何问题。首先我们可以先把草图画出来……

如下↓

            既然是几何问题，初中来说我们一般习惯把题目放入三角形中进行分析。三角形中，有关计算的无非是两种，一是勾股定理（狭义），二是三角函数（更狭义了）。题目中又出现了1/2，所以我们很自然（要慢慢培养这种能力）地想到了30°的正弦值就是1/2。再看下题中给到的A,C两点，连接AC，我们发现∠ACO就是30°。由于我们要找的是当

最短为

的时候。所以我们可以考虑作PB⊥AC于点B，如图所示↓

       ∵在△BPC中，BP=PC×sin∠PCB=

。于是我们就很简单地把问题转化成了BP+PQ最短时。那这就很简单了，相信大家都能看出来当B,P,Q共线时两线段之和最短，为BQ线段长。

（直观动图，其实这个也可以用三角形三边关系来理解）

       所以我们就可以得到结论：BQ=

。这里我们不推荐大家用奇怪的代数方法直接算出Q点坐标（虽然的确很好用，套公式直接算就行），当然有兴趣的同学也可以算着玩玩，当练计算了。这里我们依旧是给大家推荐几何方法。

       如果各位是选择用几何方法，那么还是建议大家画个草图，比如从上图来看，我们就可以很清晰的发现△ABQ也是带有30°的Rt△，并且已知BQ长为

，于是我们可以直接算出AQ的长从而得到Q点坐标，应该是（1,0）。我们现在有了对称轴的数值为1，以及抛物线所过的两个点A和C的坐标，就可以很轻易的算出a和b的数值了，分别是

以及

。

       这道题的类型可以叫做“胡不归”，其标志是AB+xBC，其中B为动点。解决这类问题的时候我们可以考虑几何方法，利用特殊角的三角函数来求解，得到最小值。当然也可以用代数方法，解方程还是蛮万能的，只要你的计算能力过硬就行（不止是计算正确率高，有时还得熟练求解高次方程，所以这里并不推荐初中生使用）。

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