【中考冲刺】存在性问题与反证法

【本期考点】

轴对称（折叠）的性质、矩形的性质、同角的余角相等、相似的判定与性质、锐角三角函数的概念与性质、全等三角形的判定与性质、反证法。

【题目】

在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．

（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC＝90°，延长GF交AB于H，连接CH．

①求证：△CDG∽△GAH；

②求tan∠GHC．

（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．

【分析】（1）①由矩形的性质和同角的余角相等证明△CDG与△GAH的两组对应角相等，从而证明△CDG∽△GAH；

解法二（反证法）：

（2）△GCF与△AEF 不全等。

理由如下：

假设△GCF≌ △AEF ，

则有 ∠CGF = ∠EAF ，

∵ 翻折，

∴ ∠EAF = ∠EGF ，

∴ ∠CGF = ∠EAF = ∠EGF ，

∵ ∠GCF = 90° ，

∴ ∠CGF + ∠EAF + ∠EGF = 90° ，

∴ ∠CGF = ∠EAF = ∠EGF = 30°，

∵ tan∠EAF =CD : AD = 2 : 4 = ¹/₂ ≠ tan30° ，

∴ 假设不成立，

∴ △GCF和 △AEF 不全等。