【辅助线方法总结3】角平分线

本期主角：角平分线

性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。

这个性质很简单，也很实用，因为得到了两个全等的直角三角形，比较方便解题（当然也比较方便出题）

常见模型： 

和角平分线有关的模型有以下几种

①角平分线性质变形。性质要求是距离，所以是两个直角三角形。而实际操作时并不一定要直角，只要保证在角两边截得的线段长度相等即可。从而能够得到△ACE≌△ABE，通过全等的结论再继续解题。

②三线合一。如果条件中有等腰和角平分线同时出现，就要考虑三线合一。

③知二得一。角平分线、平行、等腰，这三个条件不会同时出现在一道题中，因为只要告诉任意两个，就能推出第三个。这个模型十分常见，难度不高。在圆和平行四边形中隐蔽性较高。

上述三个模型是标准，使用时少了哪个线段，补上即可。

实际操作

认识模型是基本要求，我们来看看练习中的实际使用

条件中出现了角平分线和角平分线上的一个垂直，这是典型的角平分线性质。那么毫不犹豫的把另外一个垂直也加上，补全模型。做CF⊥AD，交AD的延长线于F。此时由模型可得AE=AF，那么条件中的2AE=AD+AB，就可以变成AE+AF=AD+AB，移项可得：AF-AD=AB-AE，得到：DF=BE，再利用全等即可求解。

发现模型并完成模型，会使解题思路变得通畅。

条件中有垂直和角平分线，能想到什么？这是典型的三线合一中的两个，故延长BE就能完成三线合一的模型，通过垂直和角平分线反推等腰，就能解决问题。

延长BE交AC于F，由垂直和角平分线，通过全等可以得到AB=AF，BE=EF。所以求证中2BE=AC-AB及可以变成BF=AC-AF，从而BF=FC。要证明这两个线段相等，利用∠ABC=3∠C证明△BFC为等腰三角形即可。

方法总结

总结：模型总结，理论说明好像并不复杂，但要想顺利解题，还要领会条件的本质，全面了解模型。

角平分线的本质是对称。把一个角分成相等的两部分，可以理解为把角的一边翻折到另一边，使得两条边重合。带着这个思路再回头看文章前面说的模型，理解的就更深入了。

把握本质，才能更好的分析条件，使用条件。