意大利科学家伽利略曾说“自然这部大书只能被那些通晓其中所写语言的人阅读，这种语言正是数学”。数学究竟是什么？数学有什么用？是什么让足球比赛出现在屏幕上？我们如何预测天气、股票市场？它们背后又与数学有怎样的关联？在《数学的语言：化无形为可见》中，这些问题得到了全面的探讨与解答。数学，是一切科学学习的基础。唯有借助数学，才能显现万物背后隐藏的真理。数学远不是一门枯燥而深奥的学科，而是我们生活中丰富而生动的一部分。《数学的语言》探索了这个经常被误解的学科，呈现了数学的简单、精确、纯粹和优雅。何谓数学？随机向人们提问，你可能获得的答案是，“数学是有关数字的一种学问”。如果继续追问他们所谓的学问是哪一种，你或许可以诱导他们提出譬如“那是一种有关数字的科学”之描述。不过，这大概是你可以得到的最多的信息。而这一种有关数学的描述，在大约两千五百年前，就已经不再正确了。在这样严重的误导之下，你所随机抽样的人们无法体会数学研究是一种兴旺且无所不在的活动，或是接受数学经常相当程度地贯穿我们日常生活与社会大部分活动的看法。这毫不令人意外。事实上，“何谓数学”这个问题的答案，在人类历史过程中，已经数度更易了。到公元前500年左右，数学的确是有关数字（number）的一种学问。这是古埃及和古巴比伦时期的数学。在这些文明中，数学所包括的，几乎都以算术（arithmethic）为主。它大部分属功利取向，而且充满了“食谱”的特色（譬如，“对一个数字这样做、那样做，你将会得到答案”）。从大约公元前500年到公元300年的这一时期，是希腊数学的时代。古希腊的数学家主要关心几何学（geometry）。诚然，他们按几何方式，将数字视为线段长之度量，而当他们发现有数字缺乏对应的线段长时，有关数字的研究就停顿下来了。对于希腊人而言，由于他们强调几何学，所以，数学不只研究数字，而且也是有关形状（shape）的学问。一直到17世纪中叶，英国的艾萨克·牛顿（Issac Newton）和德国的戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（GottfriedWilhelm Leibniz）各自独立发明微积分之前，数学的整体本质未曾有过根本的变革，或者说几乎没有任何显著的进展。实质来说，微积分是研究运动（motion）和变化（change）的一门学问。在此之前的数学大都局限于计算、度量和形状描述的静态议题上。现在，引进了处理运动和变化的技巧之后，数学家终于可以研究行星的运行、地球的落体运动、机械装置的运作、液体的流动、气体的扩散、如电力和磁力等物理力、飞行、动植物的生长、流行病的传染、利润的波动等。在牛顿和莱布尼茨之后，数学变成了研究数字、形状、运动、变化以及空间（space）的一门学问。
大部分涉及微积分的初始问题都导向物理的研究；事实上，该时期很多伟大的数学家也被视为物理学家。不过，从大约18世纪中叶之后，当数学家着手了解微积分为人类带来的巨大力量背后是什么时，他们对于数学本身的兴趣与日俱增，而不再只是关注数学应用而已。因此，当今日一大部分纯数学被发展的时候，古希腊形式证明的传统卷土重来掌握了优势。到 19世纪末，数学已经成为有关数字、形状、运动、变化、空间以及研究数学的工具的一门学问。发生在20世纪的数学活动之爆发相当戏剧化。在1900那一年，世界上所有的数学知识可以全部装入大约八十部书籍之中。而在今日，数学将必须有十万部书籍才能容纳。这种非比寻常的成长，不只源自一个世纪以来数学的增进，也因为许多新的分支已纷纷涌现。在1900年，数学可以被视为包括了大约十二个主题：算术、几何、微积分等。至于今日，六十到七十之间的不同范畴，将是一个合理的数字。某些主题，譬如代数和拓扑学（topology），已经被细分为不同的子领域；至于其他主题，譬如复杂理论（complexitytheory）或动态系统理论（dynamical systems theory），则是全新的研究领域。基于数学活动如此迅速成长这一事实，对于“何谓数学”这个问题，一时之间唯一的简单答案，好像就是有一点愚昧地说：“那是数学家赖以维生的东西。”一种特定的研究之所以被归类为数学，并不是基于什么被研究，反倒是基于它如何被研究，也就是说，基于被使用的方法论。在最近大约三十年间，一个为大部分数学家所同意的有关数学的定义，才终于出现了：数学是研究模式的科学（science of patterns）。数学家的所作所为，就是去检视抽象的模式——数值模式、形状的模式、运动的模式、行为的模式、全国人口的投票模式、重复机会事件（repeating chance events）的模式等。这些模式可以是真实存在或想象的、视觉性或心智性的、静态或动态的、定性或定量的、纯粹功利或有点超乎娱乐趣味的。它们可以源自我们周遭的世界、源自空间和时间的深度，或者源自人类心灵的内部运作。不同种类的模式当然引出不同的数学分支，譬如说：l 拓扑学研究邻近（closeness）与位置（position）模式。本书将运用八个主题，涵盖计算模式、推论与沟通模式、运动与变化模式、形状模式、对称与规则模式、位置模式、机会模式，以及宇宙的基本模式，以传递现代定义的数学的一些信息。虽然略去了数学的一些主要领域，它仍为当代数学为何提供了一个不错的全面解答。每一个主题的处理，尽管只是在纯描述的层次，却一点也不肤浅。在数学史上，可辨识的代数符号初次有系统地使用，似乎是从丢番图（Diophantus）开始的。他在大约公元250年住在亚历山大城（Alexandria）。他的论著《算术》（Arithmetic）——仅存原先十三卷中的六卷——通常被视为第一本“代数教科书”。丢番图使用特殊的符号去代表一个方程式中的未知数，及未知数之乘幂；同时，他也运用了表示减与相等的符号。在今日，数学书籍总是到处充斥着符号；但是，数学符号并不等于数学，其情况就如同记谱法并不等于音乐一样。乐谱的一页呈现一段音乐；当乐谱上的音符被唱出来或者被乐器演奏时，你才可以得到音乐本身。也就是说，在它的表演中，音乐变得有了生命，并且成为我们经验的一部分。对于数学来说也是一样，书页上的符号只不过是数学的一种表现（representation）。要是让一位有素养的表演者（譬如，受过数学训练的某人）来读的话，印刷页上的符号就拥有生命——正如同抽象的交响曲一样，数学在读者的心灵之中存活与呼吸。数学与音乐有这么多的相似性，两者都有各自抽象的符号，并且都为各自的抽象法则所支配，所以如果说很多（或许大多数）数学家也拥有音乐天分，那是一点也不令人惊讶的。虽然只有少数受过很好音乐训练的人可以读懂乐谱，并且在心灵之中听到这段音乐，不过，如果同一段音乐由一位有素养的音乐家来演奏，那么，任何人只要拥有聆听的感官能力，也将能够欣赏。无须专业训练，任何人都将有能力经验与享受音乐表演。然而，对于数学的大部分历史而言，欣赏数学的唯一方法，就是去“视读”（sightread）其中的符号。尽管数学的结构与类型一点一滴反映了人类心灵的结构并与之产生共鸣，好比音乐的结构与模式一样，但人类却并未发展出一双耳朵的数学等价物体。数学只能利用“心灵的眼睛”（eyes of the mind）而得到“观看”。这种情况就好比某人即便缺乏听觉能力，但只要能够“视读”记谱法，他仍将可以欣赏音乐的模式与调谐的乐音。不过，由于近年来电子计算机与视频技术的发展，在某种程度上，数学变得更容易让门外汉（theuntrained）亲近。在训练有素的使用者手上，计算机可以用来“操弄”（perform）数学，而且其结果也可以展示成为屏幕上所有人都可见得到的形式。虽然目前只有一小部分数学容许这样的视觉“操弄”，然而，我们已经有能力多少传递一点数学的美与调谐给门外汉，而这些当然是数学家研究数学时，所“看到”以及所经验到的。在出版于1940年的《一个数学家的辩白》（A Mathematician’s Apology）中杰出的英国数学家哈代（G.H.Hardy）描述道：数学家的模式，就好比画家的或诗人的一样，必须是美的；理念就像色彩或文字一样，必须按和谐的方式安排在一起。美是第一个试炼；在这个世界上，丑陋的数学没有永远的栖身之所……我们可能很难定义数学的美，然而，它就像其他种类的美之真实一样———我们或许无法完全知晓所谓一篇美的诗是什么意思，但是，当我们得读一篇时，那并不会妨碍我们认识它。哈代所指涉的美，在很多情况下，都是一种高度抽象的内在美，抽象形式与逻辑结构的一种美，一种只可以被那些受过充分数学训练的人所观察与欣赏的美。根据英国著名数学家兼哲学家伯特兰·罗素（Bertrand Russell）的看法，它是一种“冷冽与朴实无华的”美。在出版于1918年的《神秘主义与逻辑》（Mysticism and Logic）中，罗素写道：如果对数学加以正确考察，我们会发现，它所包括的不只是真理，还有至高无上的美——一种冷冽与朴实无华的美，就像雕刻的美一样，不必诉诸我们较弱本性的任一部分，无须绘画与音乐的奢华装饰，却还是具有庄严的纯粹，以及只有伟大的艺术才能表现的一种冷酷的完美。我们已经利用“数学是模式的科学”这一口号来回答“何谓数学？”这一疑问。有关数学，还有另一个根本的问题，能以一个吸引人的短语来回答：“数学作什么用？”我的意思是说，当你应用数学来研究某些现象时，数学真正带给你的是什么？这一问题的答案是，“数学让不可见变成可见”（Mathematics makes the invisible visible）。接下来，请允许我举一些例子，以便说明我这个答案的意义。要是没有数学，你将无从理解，是什么东西让一架巨型喷气式飞机浮在空气中。正如我们都知道的，大型金属物体如果没有东西支撑，根本无法停留在空中。但是，当你注视一架喷气式客机飞过你的头顶时，你看不到任何支撑物。是数学让我们“看到”令飞机飘浮高处的是什么。在本例中，让你“看到”那些不可见的支撑物的，是一个在18世纪早期被数学家丹尼尔·伯努利（DanielBernoulli）发现的方程式。当我正在讨论飞行主题时，是什么原因促使飞行器以外的物体一被我们松开便坠地？你回答：“是重力。”然而这只不过是给它一个名字，这无助于我们理解它。它仍然是不可见的。我们也可以称它是一种“魔术”。为了理解重力，你必须“看到”它。那正是牛顿在17世纪利用他的运动和力学方程式所做的事。牛顿的数学帮助我们“看到”那些让地球绕着太阳旋转，以及造成苹果从树上坠地的不可见之力。l 亚里士多德企图使用数学去“看”我们认定为音乐的不可见的声音模式。l 他还试图使用数学描述一出戏剧表演的不可见结构。l 在20世纪50年代，语言学家诺姆·乔姆斯基（Noam Chomsky）使用数学去“看”并描述我们认定为文法语句的不可见的、抽象的文本模式。于是，他将语言学从人类学一个相当晦涩的分支，转变成为一门蓬勃发展的数理科学。l 概率论与数理统计学让我们预测选举的结果，且往往有着出色的准确率。l 市场分析师企图使用各种数学理论预测股票市场的行为。l 保险公司使用统计学与概率论去预测来年一场事故发生的可能性，从而据以设定他们的保费。当时代引领我们展望未来时，数学允许我们将另外一些不可见——亦即尚未发生之事——变为可见。当然，我们的视界并不完美，预测失准在所难免，不过，要是没有数学，我们甚至连差劲地展望未来都不可能。今日，我们生活在一个技术型的社会（technological society）。当我们环顾四周，在地球表面上，已经愈来愈少有地方见不到我们的技术带来的产品：高楼、桥梁、电线、电话线、路上的汽车、天上的飞行器，等等。沟通曾经需要物理的近距离，今日我们大部分的沟通则是由数学作为媒介，沿着电线或光纤，或者经由以太网（Ethernet），按数字形式来传递。电子计算机——机械执行数学（运算）——不只是我们的桌面计算机而已，它们存在于每一个事物之中，从微波炉到汽车，从儿童玩具到电子心脏定调器，等等。数学——基于统计学的形式——决定我们将食用哪些食物，将购买哪些产品，将看到哪些电视节目，以及将投票给哪些政客。正如工业（革命）时代的社会燃烧煤炭以启动引擎，在今日信息时代，我们所燃烧的主要燃料，则是数学。还有，在过去半个世纪内，随着数学的角色变得愈来愈重要，数学也愈来愈隐身在我们的视界之外，构成一个支撑我们的不可见宇宙。正如我们的一举一动都受制于自然的不可见之力（譬如重力），我们现在生活在一个由数学创造，并且由不可见的数学定律支配的不可见宇宙。本书将带领你踏上不可见的宇宙之旅。它将对你展示：我们如何使用数学，去看它不可见结构的某些部分。在这趟旅程中，你可能发现你所遭遇到的世界显得怪异而陌生，就像那些遥远的土地一样。然而，所有的陌生感，并非来自我们将要旅行的一个遥远的宇宙，而是我们所居住的宇宙。（节选自《数学的语言：化无形为可见》，有删节，小标题为编者所加）是什么让一架巨型喷气式飞机悬浮在空中？
是什么让足球比赛出现在屏幕上？
我们如何预测天气、股票市场？
微波炉、手机、玩具、心脏起搏器、汽车和电脑是如何被发明的？
数学，是一切科学学习的基础。
唯有借助数学，才能显现万物背后隐藏的真理！
数学不仅仅是对数字的研究，它还为我们提供了识别和描述生活中隐藏的模式的眼睛，这些模式不仅存在于客观的外部世界，也存在于内部的思想领域。
数学远不是一门枯燥而深奥的学科，而是我们生活中丰富而生动的一部分。《数学的语言》探索了一个经常被误解的学科，呈现了数学的简单、精确、纯粹和优雅。
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