2022年河南省天宏大联考中考数学一模试卷及答案

13．2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩“，冬残奥会吉祥物为“雪容融“，如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩敬图案，一张正面印有雪容融图案，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片．则抽出的两张卡片图案都是冰墩墩的概率是　　．

14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝35°，∠BAC＝45°，BC＝2，则经过A，B，C三点的

的长度为　　．

15．“希望小组”的同学们利用课余时间对“纸片中的折叠问题”进行了探究．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3．∠B＝30°．点D是BC边上不与端点B，C重合的一个动点，第一步，将△ABD沿AD折叠，点B的对应点为B'；第二步，将△ADB'沿AB'折叠，点D的对应点为D'，当直线DD'过△ABC的一个顶点时，线段BD的长度为　　．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16．（10分）化简与计算：

（1）|1﹣

|+2cos45°﹣

；

（2）（x﹣

）÷

．

17．（9分）为落实教育部“双减“政策，某市从2021年9月起，各中小学全面开展课后延时服务．为了了解该市甲、乙两所中学延时服务的情况，在这两所学校分别随机抽查了100名家长进行问卷调查，家长对延时服务的综合评分记为x，将所得数据分为5个等级（A“很满意”：90≤x≤100；B“满意“：80≤x＜90；C“比较满意“：70≤x＜80；D“不太满意”：60≤x＜70；E“不满意“：0≤x＜60；），将数据进行整理后，得到如图统计图和统计表．

②乙中学延时服务得分频数分布统计表

等级	满意度	得分	频数
A	很满意	90≤x≤100	15
B	满意	80≤x＜90
C	比较满意	70≤x＜80	30
D	不太满意	60≤x＜70	10
E	不满意	0≤x＜60	5

③甲、乙两中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表：

学校	平均数	中位数	众数
甲	78	79.5	80
乙	80	b	85

④乙中学的等级“B”的分数从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：84，84，83，83，83，81，80，80，80，80．

请你根据以上信息，回答下列问题：

（1）直接写出a和b的值；

（2）课后延时服务综合得分在70分及以上为合格；请你估计甲中学3000名家长中认为该校课后延时服务合格的人数．

（3）小明说：“乙中学的课后延时服务比甲中学好”，你同意小明的说法吗？请写出一条理由．

18．（9分）如图，点C是以AB为直径的半圆O上一动点，作半径OA的垂直平分线交OA于点F，交AC于点E，交切线CD于点D．

（1）判断△CDE的形状．并说明理由；

（2）若⊙O的半径是2，cosB＝

，求CE的长．

19．（9分）如图，某校大礼堂前墙AB上悬挂宣传标语AD．为了测量标语AD的高度，小冬站在大礼堂正前方与点B相距8米的点C处，测得标语上端点A的仰角为55°，前进2米正好走到台阶M处，台阶高0.2米，在台阶的边沿点E处测得标语下端点D的仰角为60°，求标语AD的高度．（结果精确到0.01米，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，

≈1.73）．

20．（9分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线y＝ax²﹣2ax+1（a＞0）上，其中x₁＜x₂．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）若x₁+x₂＝2﹣a，比较y₁与y₂的大小关系，并说明理由．

21．（9分）喜万家超市以原价为20元/瓶的价格对外销售某种洗手液，为了减少库存，决定降价销售，经过两次降价后，售价为16.2元/瓶．

（1）求平均每次降价的百分率；

（2）为确保新学期开学工作安全、卫生、健康、有序，某学校决定购买一批洗手液（超过200瓶），超市对购买量大的客户有优惠措施，在16.2 元/瓶的基础上推出方案一；每瓶打九折；方案二：不超过200瓶的部分不打折，超过200瓶的部分打八折．学校应该选择哪种方案更省钱（只能选择一种）？请说明理由．

22．（10分）九（1）班数学兴趣小组的同学参照学习函数的过程与方法，探究函数y＝

的图象与性质，他们的探究过程如下，请你补充完整．

（1）列表：

x	…	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	2	3	4	5	6	7	…
y	…	m	0	﹣3	﹣4	﹣3	0	5	n			1	…

表中m＝　　，n＝　　．

（2）描点，连线：

如图，在平面直角坐标系中，根据如表中数据以自变量x的值为横坐标．以相应的函数值y为纵坐标，描出了部分对应点，请你描出剩余的点，并画出该函数的图象．

（3）探究性质，解决问题：

①试写出该函数的一条性质：　　；

②当y≥1时，函数y＝

的自变量x的取值范围是　　；

③若直线y＝k（x+6）﹣4与函数y＝

的图象有三个不同的交点，请直接写出k的取值范围．

23．（10分）数学综合与实践课上，同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，小东同学把等腰直角三角板ABC的直角顶点C绕着直角三角板DEF的斜边中点旋转，其中∠E＝30°，直线AC，DF相交于点G，边BC与DE相交于点H．

（1）如图①，当BC⊥DE时，线段CG与CH的数量关系是　　；

（2）将图①中的△ABC旋转到如图②所示的位置，请判断线段CG与CH的数量关系是否发生变化，并说明理由．

（3）在（2）的情况下，若△ABC绕点C旋转时，边BC与DE的交点H始终在线段DE上，连接GH．若DF＝16．S_△_CGH＝50

，请直接写出线段DH的长度．

2022年河南省天宏大联考中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．

1．【解析】∵3^﹣1＝

，

∴﹣1＜﹣

＜0＜

，

∴﹣1＜﹣

＜0＜3^﹣1，

∴有理数中最大的数是3^﹣1；

故选：D．

2．【解析】近似数“58887.41亿”精确到百万位，

故选：A．

3．【解析】A．主视图和左视图都相同，底层为三个小正方形，中层和上层的左边分别是一个小正方形，故本选项不合题意；

B．主视图和左视图相同，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项不合题意；

C．主视图底层是三个小正方形，上层的左边是两个小正方形；左视图底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项符合题意；

D．主视图和左视图相同，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项不合题意；

故选：C．

4．【解析】A．2x²+3x³，无法合并，故此选项不合题意；

B．x³·x²＝x⁵，故此选项不合题意；

C．x⁶÷x³＝x³，故此选项符合题意；

D．（﹣3x）²＝9x²，故此选项不合题意；

故选：C．

5．【解析】过点C作CM∥AB，

∵AB∥DE，

∴AB∥DE∥CM，

∵∠B＝∠BCM，∠D+∠DCM＝180°，

∵∠B＝82°，

∴∠BCM＝82°，

∵∠BCD＝38°，

∴∠DCM＝∠BCM﹣∠BCD＝82°﹣38°＝44°，

∴∠D＝180°﹣44°＝136°，

故选：A．

6．【解析】∵点A（x₁，﹣1），B（x₂，2），C（x₃，3）都在反比例函数y＝﹣

的图象上，

∴x₁＝﹣1÷（﹣1）＝1，x₂＝﹣1÷2＝﹣

，x₃＝﹣1÷3＝﹣

．

∴x₁＞x₃＞x₂，

故选：B．

7．【解析】∵小王从中选出质量大且均匀的猕猴桃作为一等品销售，

∴s²＞s₁²，

＜

₁．

故选：C．

8．【解析】由题意可知不等式组可化为

，

解得：﹣1≤x＜2，

故选：B．

9．【解析】将正六边形顺时针旋转90°如图所示：

延长DC交x轴于M，则DM⊥OM，

∵ABCDEF是正六边形且边长为2，

∴AB＝BC＝CD＝2，∠FAB＝∠ABC＝∠BCD＝120°，

∴∠OAB＝∠BCM＝180°﹣120°＝60°，

在Rt△AOB中，AB＝2，∠OAB＝60°，

∴OA＝1，OB＝

，

在Rt△BCM中，BC＝2，∠BCM＝60°，

∴CM＝1，BM＝

，

∴点D的坐标为（2

，3），

若将正六边形逆时针旋转90°，所得到的点D的坐标为（﹣2

，﹣3），

由于旋转后点D在反比例函数的图象上，

∴把点D（2

，3）代入反比例函数y＝

得，k＝6

，

∴反比例函数的关系式为y＝

，

故选：B．

10．【解析】由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，

连接DE，如图，

∵AD平分∠EAF，AD⊥EF，

∴AE＝AF＝3，

∵EF垂直平分AD，

∴ED＝AE＝3，

在Rt△CDE中，CD＝

＝

＝2

，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠BAD，

∵EF垂直平分AD，

∴AE＝ED，

∴∠EAD＝∠EDA，

∴∠BAD＝∠EDA，

∴DE∥AB，

∴△CDE∽△CBA，

∴

＝

，

∴

＝

，

∴BD＝6

，

∴BC＝CD+BD＝8

，

∴△ABC的面积＝

BC·AC＝

×4＝16

．

故选：C．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．【解析】设

＝t，则

x＝3t，y＝5t，z＝7t．

∴

＝

＝5；

故答案是：5．

12．【解析】原方程整理得：m﹣1＝2x﹣2，

解得：x＝

，

∵原方程有解，

∴x﹣1≠0，

即

，

解得m≠1，

∵方程的解是正数，

∴

＞0，

解得m＞﹣1，

∴m＞﹣1且m≠1，

故应填：m＞﹣1且m≠1．

13．【解析】把2张“冰墩墩“卡片分别记为A、B，1张“雪容融“卡片记为C，

画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中抽出的两张卡片图案都是冰墩墩的结果有4种，

∴抽出的两张卡片图案都是冰墩墩的概率为

，

故答案为：

．

14．【解析】设

的所在圆的圆心为O，连接CO，并延长交⊙O于D，连接AO、BO、AD、BD，如图，

∵∠ABC＝35°，∠BAC＝45°，

∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝100°，

∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，

∴∠ACB+∠ADB＝180°，

∴∠ADB＝80°，

∴∠AOC+∠BOC＝2∠ADB＝160°，

∵CD是⊙O的直径，

∴∠CBD＝90°，

∵∠CDB＝∠BAC＝45°，

∴∠BCD＝45°＝∠CDB，

即BD＝BC＝2，

由勾股定理得：CD＝

＝

＝2

，

即⊙O的半径为

，

∴

的长度是

＝

，

故答案为：

．

15．【解析】①当直线DD'过A时，如图：

∵△ADB'沿AB'折叠，点D的对应点为D'，

∴∠B'AD＝∠B'AD'＝90°，

∵△ABD沿AD折叠，点B的对应点为B'，

∴∠AB'D＝∠B＝30°，∠ADB＝∠ADB'，

∴∠ADB＝∠ADB'＝60°，

∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝90°，

在Rt△ABD中，

cosB＝

，即cos30°＝

，

∴BD＝2

；

②当DD'过B（C）时，如图：

∵△ADB'沿AB'折叠，点D的对应点为D'，

∴∠AED＝∠AED'＝90°，

在Rt△ABE中，∠B＝30°，

∴AE＝

AB＝

，BE＝

AE＝

，

∵△ABD沿AD折叠，点B的对应点为B'，

∴AB'＝AB＝3，∠AB'D＝∠B＝30°，

∴B'E＝AB'﹣AE＝

，

在Rt△B'DE中，

tan∠AB'D＝

，即tan30°＝

，

∴DE＝

，

∴BD＝BE﹣DE＝

；

综上所述，BD＝2

或BD＝

，

故答案为：2

或

．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16．解：（1）|1﹣

|+2cos45°﹣

＝

﹣1+2×

﹣2

＝

﹣1+

﹣2

＝﹣1；

（2）（x﹣

）÷

＝

．

17．解：（1）B等级对应百分比为

×100%＝40%，

∴a%＝1﹣（40%+25%+18%+7%）＝10%，即a＝10，

b＝

＝82；

（2）估计甲中学3000名家长中认为该校课后延时服务合格的人数为3000×（10%+40%+25%）＝2250（人）；

（3）同意，

因为乙学校学生延时服务得分的平均数大于甲学校，

所以乙学校延时服务得分的平均水平比甲学校高．

18．解：（1）△CDE是等腰三角形，理由如下：

如图，连接OC，

∵DF是OA的垂直平分线，

∴∠AFD＝90°，

即∠EAF+∠AEF＝90°，

∵∠AEF＝∠DEC，

∴∠EAF+∠DEC＝90°，

又∵CD是⊙O的切线，C为切点，

∴OC⊥CD，

即∠OCE+∠DCE＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠DEC＝∠DCE，

∴DC＝DE，

即△CDE是等腰三角形；

（2）∵DF是OA的垂直平分线，

∴∠AFE＝90°，AF＝OF＝

OA＝1，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，AB＝2OA＝4，cosB＝

，

∴BC＝AB·cosB＝1，

∴AC＝

＝

，

在Rt△AEF中，AF＝1，cos∠AEF＝cosB＝

，

设EF＝x，则AE＝4x，由勾股定理得，

AE²＝AF²+EF²，

即（4x）²＝1²+x²，

解得x＝

，x＝﹣

＜0（舍去），

∴AE＝4x＝

，

∴EC＝AC﹣AE＝

﹣

＝

．

19．解：如图，延长AF交AB于G，

则∠DGE＝90°，GB＝ME＝0.2米，EG＝MB，

∵BC＝8米，CM＝2米，

∴EG＝MB＝BC﹣CM＝6（米），

在Rt△ABC中，BC＝8米，∠C＝55°，

∵tanC＝

＝tan55°≈1.43，

∴AB≈1.43BC＝1.43×8＝11.44（米），

在Rt△DEG中，∠DEG＝60°，

∵tan∠DEG＝

＝tan60°＝

，

∴DG＝

MB＝6

（米），

∴AD＝AB﹣DG＝GB≈11.44﹣6

﹣0.2＝0.86（米），

答：标语AD的高度约为0.86米．

20．解：（1）抛物线的对称轴为：直线x＝﹣

＝1；

（2）∵a＞0，

∴抛物线开口向上，﹣a＜0，

∴2﹣a＜2，

∵x₁+x₂＝2﹣a，

∴x₁+x₂＜2，

∴

＜1，

∵抛物线对称轴是直线x＝1，

∴y₁＞y₂．

21．解：（1）设平均每次降价的百分率为x，

依题意得：20（1﹣x）²＝16.2，

解得：x₁＝0.1＝10%，x₂＝1.9（不合题意，舍去）．

答：平均每次降价的百分率为10%．

（2）设该超市购进m（m＞200）瓶该洗手液，

则选择方案一所需费用为16.2×m×0.9＝14.58m（元），

选择方案二所需费用为16.2×200+16.2×（m﹣200）×0.8＝12.96m+648（元）．

当14.58m＞12.96m+648时，解得：m＞400，

当14.58m＝12.96m+648时，解得：m＝400；

当14.58m＜12.96m+648时，解得：m＜400．

∵m＞200，

∴200＜m＜400．

∴该学校购进洗手液大于400瓶时，选择方案二合算；该学校购进洗手液等于400瓶时，选择两种方案费用相同；该学校购进洗手液大于200瓶小于400瓶时，选择方案一合算．

22．解：（1）5；

；

解法提示：

将x＝﹣3代入y＝x²﹣4（x＜3）中得：y＝（﹣3）²﹣4＝5，

∴m＝5，

将x＝4代入y＝

（x≥3）中得：y＝

＝

，

∴n＝

；

（2）画出函数图象如图；

（3）①由图可知：当x≥3时，y随x的增大而减小；

故答案为：当x≥3时，y随x的增大而减小；

②当y≥1时，函数y＝

的自变量x的取值范围是

将y＝1代入y＝x²﹣4得，x²﹣4＝1，解得x＝±

；

将y＝1代入y＝

得，

＝1，解得x＝7，

观察图象，当y≥1时，函数y＝

的自变量x的取值范围是x≤﹣

或

≤x≤7；

故答案为：x≤﹣

或

≤x≤7；

③观察图象，直线y＝k（x+6）﹣4过定点（﹣6，﹣4），

当k＜0时，直线y＝k（x+6）﹣4与直线y＝

的图象无交点；

当k＞0时，把的（3，5）代入y＝k（x+6）﹣4得，5＝9k﹣4，解得k＝1，

故若直线y＝k（x+6）﹣4与直线y＝

的图象有三个不同的交点，k的取值范围是0＜k＜1．

23．解：（1）结论：CG＝

CH．

理由：∵BC⊥DE，

∴∠CHD＝90°，

∵∠HDG＝∠HCG＝90°，

∴四边形CHDG是矩形，

∴CH＝DH，

∵CH∥DF，EC＝CF，

∴EH＝DH，

∴CG＝EH，

在Rt△EHC中，∠EHC＝90°，∠E＝30°，

∴EH＝

CH，

∴CG＝

CH．

（2）如图②中，结论不变．

理由：过点C作CJ⊥DE于点J，CK⊥DF于点K．则四边形CKDJ是矩形．

∵∠ACB＝∠JCK＝90°，

∴∠JCH＝∠GCK，

∵∠CJH＝∠CKG＝90°，

∴△CJH∽△CKG，

∴

＝

，

∵CK＝

CJ，

∴

＝

，

∴CG＝

CH；

（3）如图②中，连接HG．当点H在点J的左侧时，

∵CJ∥DF，CF＝EC，

∴EJ＝JD，

∴CJ＝

DF＝8，

∵S_△_CGH＝50

，

∴

·CH·

CH＝50

，

∴CH＝10，

∴JH＝

＝

＝6，

∵DE＝

DF＝16

，

∴DJ＝EJ＝8

，

∴DH＝HJ+DJ＝6+8

，

当点H在点J的右侧时，DH＝8

﹣6，

综上所述，满足条件的DH的值为6+8

或8

﹣6．

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