2022年河南省信阳市商城县中招数学一模试卷及答案

   

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。

1．﹣2022的倒数是（　　）

A．﹣

                     B．

       

C．﹣2022                       D．2022

2．下列问题中，适合抽样调查的是（　　）

A．“双十一”期间某网店的当日销售额      

B．神舟十三号飞船的零部件检查      

C．“7·20”特大暴雨河南省受损的农作物面积      

D．东京奥运会乒乓球比赛用球的合格率

3．下列几何体的三视图中，俯视图与主视图一定一致的是（　　）

A．

                    B．

      

C．

                          D．

4．如图所示，AB∥CD，∠α＝35°，∠C＝∠D，则∠A的度数是（　　）

A．35°       B．145°       C．155°       D．55°

5．新型冠状病毒呈球形或椭圆形，有包膜，直径大约是100nm．新型冠状病毒是一种先前未在人类中发现的冠状病毒，显微镜下看呈皇冠形，所以称为冠状病毒．既往已知感染人的冠状病毒有六种，新型冠状病毒属于β属的冠状病毒，属于第七种冠状病毒．将100nm（1nm＝10^﹣9m）用科学记数法表示为（　　）

A．1×10^﹣7m       B．1×10^﹣8m       

C．1×10^﹣9m       D．1×10^﹣6m

6．《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其

的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（　　）

A．

     B．

      

C．

     D．

7．将分别标有“文”“明”“长”“垣”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“长垣”的概率是（　　）

A．

    B．

    C．

    D．

8．函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x²+bx+k﹣1＝0的根的情况是（　　）

A．没有实数根             B．有两个相等的实数根      

C．有两个不相等的实数根       D．无法确定

9．如图，在平面直角坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，点B在y轴上，OA＝1，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2021次，点B的落点依次为B₁，B₂，B₃，…，则B₂₀₂₁的坐标为（　　）

A．（1010，0）                B．（1345，

）      

C．（

，

）       D．（1346，0）

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2

，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）

A．

   B．

      

C．

   D．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．写出一个大于3小于5的无理数　   　．

12．某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0．写出一个满足条件的一次函数表达式：　   　．

13．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，D，E，F分别是AC，BC，AB边上的点，且∠EDF＝45°，DE＝DF，则AF+CE＝　   　．

14．图①是由若干个相同的图形（图②）组成的美丽图案的一部分，图②中，图形的相关数据：半径OA＝2cm，∠AOB＝120°，则图①中图形（实线部分）的周长为 　   　cm（结果保留π）．

15．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E在线段BC上，连接AE，过点B作BF⊥AE交线段CD于点F．以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，当点E从B运动到C时，点H运动的路径长为 　   　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16．（8分）（1）计算：

；

（2）化简：

．

17．（8分）2021年秋季教育部明确提出，要减轻义务教育阶段学生的作业负担，学生的校外培训负担．依据政策要求，初中书面作业平均完成时间不超过90分钟，学生每天的完成作业时长不能超过2小时．某中学为了积极推进教育部的新政策实施，对本校学生的作业情况进行了抽样调查，统计结果如图所示：

（1）这次抽样共调查了 　   　名学生，并补全条形统计图；

（2）计算扇形统计图中表示作业时长为2.5小时对应的扇形圆心角度数；

（3）若该中学共有学生3000人，请据此估计该校学生的作业时间不少于2小时的学生人数；

（4）通过本次调查，你认为该学校作业布置是否满足教育部的“双减”政策要求？请说明理由，并给出相应的建议．

18．（9分）弦切角定理（弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角）在证明角相等、线段相等、线段成比例等问题时，有非常重要的作用，为了说明弦切角定理的正确性，小明同学进行了以下探索过程：

问题的提出：若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的交角中的任意一个称为直线和圆的交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角．直线和圆的交角有以下性质：直线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角．

问题的证明：（只证明劣交角即可）

已知：如图1，直线l与⊙O相交于点A，B，过点B作 　   　．

求证：∠ABD＝　   　．

任务：（1）请将不完整的已知和求证补充完整，并写出证明过程；

（2）如图2，直线l与⊙O相交于点A，B，AD为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，交DA的延长线于点C，若AD＝BC，AC＝2，求⊙O的半径．

19．（9分）如图，点P为函数y＝

x+1与函数y＝

（x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．

（1）求m的值；

（2）点M是函数y＝

（x＞0）图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，若tan∠PMD＝

，求点M的坐标．

20．（9分）某汽车贸易公司销售A、B两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，B型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元．

（1）求销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？

（2）该公司准备用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？

21．（10分）小明根据学习函数的经验，对函数y＝|x²﹣2x|﹣2的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：

x	…	﹣2	﹣1	0	1	2	3	4	…
y	…	6	m	﹣2	﹣1	﹣2	n	6	…

（1）在给定的平面直角坐标系中；画出这个函数的图象，

①列表，其中m＝　   　，n＝　   　．

②描点：请根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点：

③连线：画出该函数的图象．

（2）写出该函数的两条性质：　   　．

（3）进一步探究函数图象，解决下列问题：

①若平行于x轴的一条直线y＝k与函数y＝|x²﹣2x|﹣2的图象有两个交点，则k的取值范围是 　   　；

②在网格中画出y＝x﹣2的图象，直接写出方程|x²﹣2x|﹣2＝x﹣2的解为 　   　．

22．（11分）如图，直线y＝﹣

x+a与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣

x²+bx+c经过点A，B．

（1）求点B的坐标和抛物线的表达式；

（2）P（x₁，y₁），Q（4，y₂）两点均在该抛物线上，若y₁≥y₂，求P点的横坐标x₁的取值范围；

（3）点M为直线AB上一动点，将点M沿与y轴平行的方向平移一个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围．

23．（11分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线AB上的一动点（不与点A，B重合）连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH．

【问题发现】

（1）如图（1），当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是　   　．EH与AD的位置关系是　   　．

【猜想论证】

（2）如图（2），当点D在边AB上且不是AB的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．

【拓展应用】

（3）若AC＝BC＝2

，其他条件不变，连接AE、BE．当△BCE是等边三角形时，请直接写出△ADE的面积．

 

答案与解析

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。

1．【解析】﹣2022的倒数是﹣

．

故选：A．

2．【解析】A、“双十一”期间某网店的当日销售额，应采用抽样调查，故此选项符合题意；

B、神舟十三号飞船的零部件检查，应采用全面调查，故此选项不合题意；

C、“7·20”特大暴雨河南省受损的农作物面积，应采用全面调查，故此选项不合题意；

D、东京奥运会乒乓球比赛用球的合格率，应采用全面调查，故此选项不合题意；

故选：A．

3．【解析】长方体的俯视图与主视图都是矩形，但两个矩形的宽不一定相同，因此A不符合题意；

球的俯视图与主视图都是圆，因此B符合题意；

圆锥的主视图是等腰三角形、俯视图都是带圆心的圆，因此选项C不符合题意；

圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，因此D不符合题意；

故选：B．

4．【解析】∵AB∥CD，

∴∠D＝∠α＝35°，

∵∠C＝∠D，

∴∠C＝35°，

∵AB∥CD，

∴∠C+∠A＝180°，

∴∠A＝145°，

故选：B．

5．【解析】∵1nm＝10^﹣9m，

∴100nm＝100×10^﹣9m＝1×10^﹣7m．

故选：A．

6．【解析】设甲的钱数为x，乙的钱数为y，

依题意，得：

．

故选：A．

7．【解析】画树状图：

共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球上的汉字组成“长垣”的结果数为2，

所以两次摸出的球上的汉字组成“长垣”的概率＝

＝

．

故选：B．

8．【解析】根据图象可得k＜0，b＜0，

所以b²＞0，﹣4k＞0，

因为Δ＝b²﹣4（k﹣1）＝b²﹣4k+4＞0，

所以Δ＞0，

所以方程有两个不相等的实数根．

故选：C．

9．【解析】连接AC，如图所示．

∵四边形OABC是菱形，

∴OA＝AB＝BC＝OC．

∵∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形．

∴AC＝AB．

∴AC＝OA．

∵OA＝1，

∴AC＝1．

画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．

由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．

∵2021＝336×6+5，

∴点B₅向右平移1344（即336×4）到点B₂₀₂₁．

∵B₅的坐标为（

，

），

∴B₂₀₂₁的坐标为（

，

），

故选：C．

10．【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2

，

∴AB＝4，∠A＝45°，

∵CD⊥AB于点D，

∴AD＝BD＝2，

∵PE⊥AC，PF⊥BC，

∴四边形CEPF是矩形，

∴CE＝PF，PE＝CF，

∵点P运动的路程为x，

∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，

即0＜x＜2时，

AP＝x，

则AE＝PE＝x·sin45°＝

x，

∴CE＝AC﹣AE＝2

﹣

x，

∵四边形CEPF的面积为y，

y＝PE·CE

＝

x（2

﹣

x）

＝﹣

x²+2x

＝﹣

（x﹣2）²+2，

∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；

当点P沿D→C路径运动时，

即2≤x＜4时，

∵CD是∠ACB的平分线，

∴PE＝PF，

∴四边形CEPF是正方形，

∵AD＝2，PD＝x﹣2，

∴CP＝4﹣x，

y＝

（4﹣x）²＝

（x﹣4）²．

∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，

综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．

故选：A．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．【解析】一个大于3小于5的无理数如：

；

故答案为：

．

12．【解析】由题意可得，

x＝1时，y＝0，

∴满足条件的一次函数表达式可以是y＝x﹣1，

故答案为：y＝x﹣1（答案不唯一）．

13．【解析】∵∠B＝90°，AB＝BC，

∴∠A＝∠C＝45°，

∴∠AFD+∠ADF＝135°，

∵∠EDF＝45°，

∴∠ADF+∠EDC＝135°，

∴∠AFD＝∠EDC，

∵DE＝DF，

∴△AFD≌△CDE（AAS），

∴AF＝CD，CE＝AD，

∴AF+CE＝CD+AD＝AC，

∴AB＝BC＝4，

∴AC＝

＝

＝4

，

∴AF+CE＝4

．

故答案为：4

．

14．【解析】由图①得：

的长+

的长＝

的长，

∵半径OA＝2cm，∠AOB＝120°，

则图②的周长为：

＝

（cm）．

∵图①中有4个完整的图②，

∴图①中图形（实线部分）的周长为故

×4＝

，

故答案为：

．

15．【解析】如图，连接CH．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝BCF＝90°，

∵BF⊥AE，

∴∠ABF+∠EBF＝90°，∠ABF+EAB＝90°，

∴∠EAB＝∠CBF，

∴△ABE∽△BCF，

∴

＝

＝2，

∵四边形BEHF是平行四边形，

∴FH＝BE，FH∥BE，

∴∠HFC＝∠BCF＝90°，

∴

＝2，

∴tan∠HCF＝2，

∴∠HCF是定值，

∴点H的运动轨迹是线段CH，

当当点E从B运动到C时，

∴FH＝BC＝2，

∴CF＝1，

∴CH＝

＝

．

故答案为：

．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16．解：（1）

＝3﹣1+

＝2

；

（2）

＝

﹣

＝

﹣

＝

＝

＝﹣

．

17．解：（1）这次抽样共调查的学生有：140÷28%＝500（名），

每天作业所需时间1.5小时的人数有：500×36%＝180（名），

补全统计图如下：

故答案为：500；

（2）扇形统计图中表示作业时长为2.5小时对应的扇形圆心角度数是：360°×

＝57.6°；

（3）根据题意得：

3000×

＝1320（人），

答：估计该校学生的作业时间不少于2小时的学生人数有1320人；

（4）不满足，建议减少作业量，根据学生的能力分层布置作业．

18．解：已知：如图1，直线l与⊙O相交于点A，B，过点B作圆的切线BE，

求证：∠ABD＝∠C．

（1）证明：如图，连接BO并延长交⊙O于F，连接AF．

∵BF是⊙O的直径，

∴∠BAF＝90°，∠FBD＝90°．

∴∠ABF+∠F＝90°．

∴∠ABD+∠ABF＝90°，

∴∠ABD＝∠F．

∵∠F＝∠C，

∴∠ABD＝∠C；

（2）解：如图，连接BD，

∵∠ABC＝∠D，∠C＝∠C，

∴△ABC∽△BDC．

∴

，

∴BC²＝CD·AC，

设⊙O的半径为r，

则BC＝AD＝2r，CD＝AD+AC＝2r+2，

∴（2r）²＝2×（2r+2），

解得r₁＝

，r₂＝

（不合题意，舍去），

∴⊙O的半径为

．

19．解：∵点P为函数y＝

x+1图象的点，点P的纵坐标为4，

∴4＝

x+1，解得：x＝6，

∴点P（6，4），

∵点P为函数y＝

x+1与函数y＝

（x＞0）图象的交点，

∴4＝

，

∴m＝24；

（2）设点M的坐标（x，y），

∵tan∠PMD＝

，

∴

＝

，

①点M在点P右侧，如图，

∵点P（6，4），

∴PD＝4﹣y，DM＝x﹣6，

∴

＝

，

∵xy＝m＝24，

∴y＝

，

∴2（4﹣

）＝x﹣6，解得：x＝6或8，

∵点M在点P右侧，

∴x＝8，

∴y＝3，

∴点M的坐标为（8，3）；

②点M在点P左侧，

∵点P（6，4），

∴PD＝y﹣4，DM＝6﹣x，

∴

＝

，

∵xy＝m＝24，

∴y＝

，

∴2（4﹣

）＝x﹣6，解得：x＝6或8，

∵点M在点P左侧，

∴此种情况不存在；

∴点M的坐标为（8，3）．

20．解：（1）设销售一台A型新能源汽车的利润是x万元，销售一台B型新能源汽车的利润是y万元，

依题意得：

，解得：

．

答：销售一台A型新能源汽车的利润是0.3万元，销售一台B型新能源汽车的利润是0.5万元．

（2）设需要采购A型新能源汽车m台，则采购B型新能源汽车（22﹣m）台，

依题意得：12m+15（22﹣m）≤300，

解得：m≥10．

答：最少需要采购A型新能源汽车10台．

21．解：（1）1，1；如图：

（2）①函数的图象关于直线x＝1对称；

②函数有最小值﹣2；

（3）①由图形可知，若平行于x轴的一条直线y＝k与函数y＝|x²﹣2x|﹣2的图象有两个交点，则k的取值范围是k＝﹣2或k＞﹣1，

②在网格中画出y＝x﹣2的图象如图：

由图形可知，直线y＝x﹣2与函数y＝|x²﹣2x|﹣2的图象有三个交点，分别为（0，﹣2）、（1，﹣1）、（3，1），

∴方程|x²﹣2x|﹣2＝x﹣2的解为x＝0或x＝1或x＝3；

22．解：（1）把点A坐标代入y＝﹣

x+a得：0＝﹣

×3+a，解得：a＝2，

故直线的表达式为：y＝﹣

x+2，

令x＝0，则y＝2，故点B（0，2），

将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：

，解得：

，

故抛物线的表达式为：y＝﹣

x²+

x+2；

（2）当x＝4时，y＝﹣6，

令y＝﹣6＝﹣

x²+

x+2，解得x＝4或x＝﹣

，

∵y₁≥y₂，且﹣

＜0，

∴﹣

≤x₁≤4．

（3）由（1）知，直线AB的表达式为：y＝﹣

x+2，

设点M的横坐标为x_M＝m，

∴M（m，﹣

m+2），N（m，﹣

m+2+1）或N（m，﹣

m+2﹣1），

由题意可知，﹣

m²+

m+2≤﹣

m+2+1或﹣

m+2﹣1≤﹣

m²+

m+2，

解得，

≤m≤

或

≤m≤

．

即

≤x_M≤

或

≤x_M≤

．

23．解：（1）EH＝

AD，EH⊥AD．

解法提示：

如图1中，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝BD，

∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，

∴∠A＝∠B＝45°，∠DCB＝∠ACD＝45°，

∵∠DCE＝45°，

∴点E在线段CB上，

∵DE⊥BC，

∴∠EDB＝∠B＝45°，

∵DH＝HB，

∴EH⊥DB，EH＝

DB＝

AD．

（2）结论仍然成立：

理由：如图2中，延长DE到F，使得EF＝DE，连接CF，BF．

∵DE＝EF．CE⊥DF，

∴CD＝CF，

∴∠CDF＝∠CFD＝45°，

∴∠ECF＝∠ECD＝45°，

∴∠ACB＝∠DCF＝90°，

∴∠ACD＝∠BCF，

∵CA＝CB，

∴△ACD≌△BCF（SAS），

∴AD＝BF，∠A＝∠CBF＝45°，

∵∠ABC＝45°，

∴∠ABF＝90°，

∴BF⊥AB，

∵DE＝EF，DH＝HB，

∴EH＝

BF，EH∥BF，

∴EH⊥AD，EH＝

AD．

（3）如图3﹣1中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．

∵∠ACB＝90°，∠ECB＝60°，

∴∠ACE＝30°，

∵AC＝CB＝CE＝EB＝DE＝2

，

∴∠CAE＝∠CEA＝75°，

∵∠CAB＝45°，

∴∠EAH＝30°，

∵∠DEC＝90°，∠CEB＝60°，

∴∠DEB＝150°，

∴∠EDB＝∠EBD＝15°，

∵∠EAH＝∠ADE+∠AED，

∴∠ADE＝∠AED＝15°，

∴AD＝AE，设EH＝x，则AD＝AE＝2x，AH＝

x，

∵EH²+DH²＝DE²，

∴x²+（2x+

x）²＝8，

∴x＝

﹣1，

∴AD＝2

﹣2，

∴S_△ADE＝

·AD·EH＝

×（2

﹣2）·（

﹣1）＝4﹣2

．

如图3﹣2中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．

同法可求：EH＝

+1，AD＝2

+2，

∴S_△ADE＝

·AD·EH＝

×（2

）（

+1）＝4+2

，

综上所述，满足条件的△ADE的面积为4﹣2

或4+2

．