初中数学|经典几何问题：“阿氏圆”模型

'阿氏圆'由来

      “PA+k·PB”型最值问题是初中数学的热点与难点。当 k=1 时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，便可用我们常见的“将军饮马”模型来解决。.

       当k ≠1 时，常规的轴对称思想无法使用。因此我们想要通过转化，把题目变为我们熟悉的模型，在这个过程中产生了两种模型。当动点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”模型；点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”模型。

       数学家阿波罗尼斯发现这类问题，故称“阿氏圆”。  

'阿氏圆'模型

       如图 1 ，⊙O的半径为 r，点 A、B 都在⊙O外，P 是⊙O 上一动点，已知 r=k·OB， 连接 PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？

类似于胡不归模型，需要把“k·PB”转化。

     如图 2，在线段 OB 上截取 OC 使 OC=k·OP，则有△BPO 与△PCO 相似（利用对应边成比例），由此可得 k·PB=PC（转化成功）。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，其中与 A 与 C 为定点,P 为动点，故当 A、P、C 三点共线时， “PA+PC”值最小。如图 3

做题时最关键步骤就是“转化k·PB”,

在 OB 上取点 C，使得OC/OP=OP/OB。

相关例题

     如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°, CB=4，CA=6，⊙C 半径为 2，P 为圆上一动 点，连接 AP、BP，求 AP+ (1/2)·BP的最小值？

分析

      目标“转化(1/2)·PB”，

      如图 2，连接 CP，因为 CP=2，AC=6，BC=4，CP:BC=1:2，所以在CB 上取一点 D，使得CD:CP=1:2，故CD=1。因此现在有△PCD ∽△BCP，由此得到 PD= (1/2)·BP  （转化成功）。

       所以 AP+(1/2)·BP =AP+PD，其中 A、D 为定点，故 A、P、 D 三点共线时，有最小值。共线时△ACD是直角三角形，利用勾股定理得出AP+PD=√37.

思考：BP+ (1/3)·PA的最小值？如何转化呢？

图文|小修

排版|歪歪