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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．实数

，

，2，﹣3中，绝对值最大的数是（　　）

A．

       B．

       C．2       D．﹣3

2．通过严格实施低碳管理等措施，2022年北京冬奥会和冬残奥会全面实现了碳中和．根据测算，北京冬奥会三个赛区的场馆使用绿电4亿千瓦时，可以减少燃烧12.8万吨标准煤，减少排放二氧化碳32万吨，实现了“山林场馆、生态冬奥”的目标：其中的32万用科学记数法表示为（　　）

A．32×10⁴              B．3.2×10⁴      

C．3.2×10⁵             D．3.2×10⁶

3．小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（　　）

A．两点之间，线段最短      

B．垂线段最短      

C．三角形两边之和大于第三边      

D．两点确定一条直线

4．下列计算正确的是（　　）

A．5a+6a＝11a²       

B．（﹣3）b²⋅2b³＝6b⁵      

C．6b⁶÷2a²＝3a³       

D．（b+3a）（3a﹣b）＝9a²﹣b²

5．将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（　　）

A．

           B．

      

C．

           D．

6．疫情期间进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校，昌平某校有2个测温通道，分别记为A、B通道，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园．某日早晨该校所有学生体温正常．小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率是（　　）

A．

       B．

       C．

       D．

7．下列说法错误的是（　　）

A．菱形的邻边相等      

B．平行四边形是轴对称图形      

C．矩形的对角线相等      

D．平行四边形的对角线互相平分

8．如图，一次函数y＝﹣x﹣6的图象经过点P（a，b）和Q（c，d），则a（c+d）+b（c+d）的值为（　　）

A．﹣12       B．﹣36       C．36       D．12

9．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：

①连接AB和BC；

②在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点A、B、C；

③以点O为圆心，OA为半径作⊙O；

④分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O；

正确的操作步骤是（　　）

A．②①③④               B．②①④③       

C．①②④③               D．①④②③

10．如图，直线

交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（　　）

A．

       B．

或

      

C．

       D．

或

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分请把正确答案填在题中的横线上）

11．计算：

　   　．

12．请写出一个一元二次方程，使它有两个相等的实数根．这个一元二次方程可以是 　   　．

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y

（x﹣4）²+2可以看作是抛物线y

x²+2经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y

x²+2得到抛物线y

（x﹣4）²+2的过程：　   　．

14．在边长为1的正方形ABCD中，分别以A、B为圆心，以1为半径作弧交对角线于F、E两点，

、

，与对角线所围成的阴影部分的周长为 　   　．

15．如图，折叠矩形纸片ABCD时，进行如下操作：①点E在AB边上，把△BCE翻折，使点B落在DC边上的点F处，折痕为CE；②把纸片展开并铺平；③点H在AD边上，把△CDH翻折，使点D落在线段AE上的点G处，折痕为CH．若

，BC＝6，则EG的长为 　   　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分．）

16．（10分）（1）计算：

；

（2）解方程组

．

17．（9分）2021年12月9日“天宫课堂”第一课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩！

某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，现从九年级A班和B班中各抽取20名学生的竞赛成绩（单位：分，百分制进行调查分析，成绩如下：

	90	89	100	96	97	98	89	97	87	100
A班	95	99	98	77	87	93	92	84	94	98
B班	78	86	92	95	97	86	76	91	90	99
	100	97	89	97	85	91	100	95	100	96

成绩X

【整理数据】

频数 班级	76≤x≤80	81≤x≤85	86≤x≤90	91≤x≤95	96≤x≤100
A班	1	1	5	4	9
B班	2	1	4	5	8

【分析数据】根据以上数据进行统计分析：

班级 统计量	平均数	中位数	众数	方差
A班	93	94.5	b	35.3
B班	92	a	97，100	46.9

根据以上信息，解答下列问题：

（1）表格中的a＝　   　，b＝　   　．

（2）请你根据以上统计信息，分析哪个班在本次活动中整体水平较高且稳定．

（3）若全校九年级共有学生800人，请你估计本次知识竞赛中分数在90分以上的人数．若想更全面地推断全市九年级学生在本次活动中成绩达到90分以上的人数，还应该怎样做，请你给出合理化的建议．（写出一条即可）

18．（9分）如图：在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（2，m），直线CD：y₁＝ax+b与双曲线：y₂

交于C，P（﹣4，﹣1）两点．

（1）求双曲线y₂的函数关系式及m的值；

（2）判断点B是否在双曲线上，并说明理由；

（3）当y₁＞y₂时，请直接写出x的取值范围．

19．（9分）手机测距APP可以测量物体高度、宽度等，这些测距软件是基于几何学原理设计的．测量时只需要输入身高，再用手机拍摄功能将准星对准物体顶端和底部拍摄图片，程序就会计算出物体的高度．某款测距APP提供的测高模式如下：

点A，B，C，D都在同一平面 内，手机位置为A点，待测物体为CD，且AB和CD均与地面BD垂直．从点A处测得顶端C的仰角为α，底部D的俯角为β．

奋进小组的同学想用上述方式手动计算某景区宣传广告牌的高度．如图2，经过测量得到AB＝1.65m，仰角α＝35°，俯角β＝28°，求出广告牌CD的高度．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，结果精确到0.1）

20．（9分）请阅读下面材料，并完成相应的任务；

阿基米德折弦定理

阿基米德（Arehimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．

阿拉伯Al﹣Biruni（973年﹣1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．

阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是

的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．

这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．

证明：如图2，过点M作MH⊥射线AB，垂足为点H，连接MA，MB，MC．

∵M是

的中点，

∴MA＝MC．

…

任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）如图3，已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为

上一点，∠ABD＝15°，CE⊥BD于点E，CE＝2，连接AD，则△DAB的周长是 　   　．

21．（9分）2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．2021年十二月，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，本月销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”的2倍，其中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”多40元，“冰墩墩”的销售总额是24000元，“雪容融”的销售总额是8000元．

（1）求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；

（2）已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为90元/个和60元/个，进入2022年一月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共600个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的2倍，且购进总价不超过43200元，为回馈新老客户，旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若一月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．

22．（10分）如图，已知二次函数y＝x²+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．

（1）求a的值和图象的顶点坐标．

（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．

①当m＝2时，求n的值；

②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．

23．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，动点D在直线BC上（不与点B，C重合），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接DE，F，G分别是DE，CD的中点，连接FG．

【特例感知】（1）如图1，当点D是BC的中点时，FG与BD的数量关系是　   　，FG与直线BC的位置关系是　   　；

【猜想论证】（2）当点D在线段BC上且不是BC的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？

①请在图2中补全图形；

②若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【拓展应用】（3）若AB＝AC

，其他条件不变，连接BF、CF．当△ACF是等边三角形时，请直接写出△BDF的面积．

 

2022年河南省南阳市社旗县中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．【解析】|

|

，|

|

，|2|＝2，|﹣3|＝3，

∵

2

3，

∴实数

，

，2，﹣3中，绝对值最大的数是﹣3．

故选：D．

2．【解析】32万＝320000＝3.2×10⁵．

故选：C．

3．【解析】从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，理由是两点之间线段最短，

故选：A．

4．【解析】A、原式＝11a，故A不符合题意．

B、原式＝﹣6b⁵，故B不符合题意．

C、原式＝3a⁴，故C不符合题意．

D、原式＝9a²﹣b²，故D符合题意．

故选：D．

5．【解析】该长方体表面展开图可能是选项A．

故选：A．

6．【解析】画树状图如图：

共有4个等可能的结果，小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的结果有2个，

∴小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率为

，

故选：C．

7．【解析】A、菱形的邻边相等，正确，不符合题意；

B、平行四边形不是轴对称图形，错误，不符合题意；

C、矩形的对角线相等，正确，不符合题意；

D、平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意；

故选：B．

8．【解析】∵一次函数y＝﹣x﹣6的图象经过点P（a，b）和Q（c，d），

∴b＝﹣a﹣6，d＝﹣c﹣6，

∴a+b＝﹣6，c+d＝﹣6，

而a（c+d）+b（c+d）＝（c+d）（a+b），

∴a（c+d）+b（c+d）＝（﹣6）×（﹣6）＝36．

故选：C．

9．【解析】由题意正确的操作步骤：②①④③，

故选：B．

10．【解析】∵直线y

x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，

∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣4，

∴A（﹣4，0），B（0，﹣3），

∴OA＝4，OB＝3，

∴AB＝5，

设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，

则PD⊥AB，PD＝1，

∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO，

∴△APD∽△ABO，

∴

，即

，

∴AP

，

∴OP

或OP

，

∴P（

，0）或P（

，0），

故选：B．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分请把正确答案填在题中的横线上）

11．【解析】

 

，

故答案为：

．

12．【解析】∵方程有两个相等的实数根，

∴Δ＝b²﹣4ac＝0，

令c＝0，b＝0，Δ＝0，

此时方程为x²＝0．

故答案为：x²＝0．

13．【解析】抛物线y

x²+2的顶点为（0，2），抛物线y

（x﹣4）²+2的顶点为（4，2），

∴将抛物线y

x²+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线 y

（x﹣4）²+2．

故答案为：将抛物线y

x²+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线 y

（x﹣4）²+2．（答案不唯一）．

14．【解析】∵四边形ABCD是正方形，分别以A、B为圆心，以1为半径作弧交对角线于F，

∴∠BAC＝∠ABD＝45°，AB＝BE＝AF＝1，AC⊥BD，AO＝BO，

∴∠AOB＝90°，

由勾股定理得：AO²+BO²＝AB²，

2AO²＝1²，

解得：AO

BO（负数舍去），

∴OF＝OE＝BE﹣BO＝1

，

的长度

的长度

π，

∴与对角线所围成的阴影部分的周长为2×（

π+1

）

π+2，

故答案为：

π+2．

15．【解析】∵把△BCE翻折使点B落在DC边上的点F处，折痕为CE，

∴CF＝CB，BE＝EF，∠CFE＝∠B＝90°，

∴四边形BEFC为正方形，

∴BE＝BC＝6，

∵把△CDH翻折使点D落在线段AE上的点G处，折痕为CH，

∴∠HGC＝90°，DH＝GH，DC＝GC，

∴∠AGH+∠CGB＝90°，

∵∠AGH+∠AHG＝90°，

∴∠CGB＝∠AHG，

∵∠A＝∠B＝90°，

∴△AGH∽△BCG，

∴

，

∵BC＝6，

∴AG＝2，

设AH＝x，则DH＝HG＝6﹣x，

在Rt△AGH中，

∵AH²+AG²＝GH²，

∴x²+2²＝（6﹣x）²，

解得x

，

∴BG＝3AH＝8，

∴EG＝BG﹣BE＝8﹣6＝2．

故答案为：2．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分．）

16．解:（1）原式＝1

＝1﹣2

＝﹣1

．

（2）方程组整理得：

，

①×2+②得：9x＝﹣45，

解得x＝﹣5，

把x＝﹣5代入①得：﹣5+2y＝﹣2，

解得y＝1.5．

故方程组的解是

．

17．解:（1）根据表格可知，B班成绩小于等于90分的人数为7人，20个数据的中位数是第10个和第11个数的平均数，

∴将B班成绩在91≤x≤95的数据排序为：91，91，92，95，95，

∴第10个和第11个数为92和95，

故B班成绩的中位数为

93.5，

故a＝93.5，

∵A班成绩出现次数最多的是98，故众数为98，

∴b＝98，

故答案为：93.5，98．

（2）根据表格可知，A班成绩的平均分高于B班成绩的平均分，A班成绩的方差小于B班成绩的方差，

故可判断A班在本次活动中整体水平较高且稳定．

（3）本次抽取的两个班的90分以上的总人数为26人，

故全校九年级共有学生800人中分数在90分以上的人数约为800

520（人）．

若想更全面地推断全市九年级学生在本次活动中成绩达到90分以上的人数，可以从各班均抽取20人进行统计．

18．解:（1）将点P（﹣4，﹣1）代入y

中，得k₂＝﹣4×（﹣1）＝4，

∴反比例函数的解析式为y

，

将点C（2，m）代入y

中，得m

2；

（2）因为四边形ABCD是菱形，A（2，0），C（2，2），

∴m＝2，B（4，

m），

∴B（4，1），

由（1）知双曲线的解析式为y₂

；

∵4×1＝4，

∴点B在双曲线上；

（3）由（1）知C（2，2），

由图象知，当y₁＞y₂时的x值的范围为﹣4＜x＜0或x＞2．

19．解:如图，过点A作AG⊥CD于点G，

则∠CAG＝α＝35°，∠DAG＝β＝28°，

∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠ABD＝∠AGD＝∠BDG＝90°，

∴四边形ABDG是矩形，

∴DG＝AB＝1.65 m，

在Rt∠AGD中，∵tanβ

，

∴AG

，

在Rt∠AGC中，∵tanα

，

∴CG＝AG·tanα

·tan35°

0.70≈2.18（m），

∴CD＝CG+DG＝2.18+1.65≈3.8（m）．

答：广告牌CD的高度为3.8m．

20．（1）证明：如图2中，

∵

，

∴AM＝CM，

∵MH⊥AH，MD⊥BC，

∴∠H＝∠CDM＝90°，

∵∠A＝∠C，

∴△AHM≌△CDM（AAS），

∴MH＝DM，AH＝CD，

∵∠H＝∠BDM＝90°，BM＝BM，

∴Rt△BMH≌△BMD（HL），

∴BH＝BD，

∴CD＝AH＝AB+BH＝AB+BD；

（2）解：如图3中，

∵△ABC是等边三角形，

∴BC＝AB，∠ABC＝60°，

∵∠ABD＝15°，

∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABD＝45°，

∵CE⊥BD，

∴∠ECB＝∠EBC＝45°，

∴CE＝BE＝2，

∴AB＝BC＝2

，

∴由（1）的结论得，BE＝DE+AD＝2，

∴△ABD的周长是AD+BD+AB＝AD+DE+EB+AB＝4+2

．

故答案为：4+2

．

21．解:（1）设“冰墩墩”的销售单价是x元，则“雪容融”的销售单价是（x﹣40）元，

根据题意得

2，

解得x＝120，

经检验，x＝120是原方程的解，也符合题意，

∴x﹣40＝120﹣40＝80（元），

答：“冰墩墩”的销售单价是120元，则“雪容融”的销售单价是80元；

（2）设“冰墩墩”购进m个，则“雪容融”玩具为（600﹣m）个，一月份销售利润为w元，

则

，

解得：200≤m≤240，

由题意得：w＝（120﹣120×10%﹣90）m+（80﹣60）×（600﹣m）＝﹣2m+12000，

∵﹣2＜0，

∴w＝﹣2m+12000随m的增大而减小，

∴当m＝200时，w_最大值＝﹣2×200+12000＝11600，

答：冰墩墩”购进200个时，该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元．

22．解:（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x²+ax+3中，

∴a＝2，

∴y＝x²+2x+3＝（x+1）²+2，

∴顶点坐标为（﹣1，2）；

（2）①当m＝2时，n＝11，

②点Q到y轴的距离小于2，

∴|m|＜2，

∴﹣2＜m＜2，

∴2≤n＜11；

23．解:（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，

∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，∠ABC＝∠ACB＝45°，

∵F，G分别是DE，CD的中点，

∴FG

AD，FG∥AD，

∴FG

BD，FG⊥BC，

故答案为：FG

BD，FG⊥BC；

（2）①补全图形如图所示；

②结论仍然成立，

理由如下：如图2，连接CE，

∵把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，

∴∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，

∴∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴CE＝BD，∠ACE＝∠B＝∠ACB＝45°，

∴∠DCE＝90°，

∵F，G分别是DE，CD的中点，

∴FG

CE

BD，FG∥CE，

∴FG⊥BC；

（3）当点D在点B的左侧时，

如图3﹣1中，作AM⊥BC于M，连接FG，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC

，AM⊥BC，

∴BC＝2，BM＝CM＝AM

BC＝1，∠BAM＝∠CAM＝45°，

∵AD＝AE，∠DAE＝90°，点F是DE中点，

∴∠EAF＝∠CAM＝45°，AF＝FD＝EF，

∵△AFC是等边三角形，

∴AF＝AC＝FC

，∠FAC＝∠AFC＝∠ACF＝60°，

∴∠CAE＝15°＝∠BAD，

∴∠ADM＝∠ABC﹣∠BAD＝30°，

∴DM

AM

，

∴BD＝DM﹣BM

，

由（2）的结论可得：FG⊥BC，FG

BD

，

∴△BDF的面积

；

当点D在点C的右侧时，

如图3﹣2中，作AM⊥BC于M，连接FG，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC

，AM⊥BC，

∴BC＝2，BM＝CM＝AM

BC＝1，∠BAM＝∠CAM＝45°，

∵AD＝AE，∠DAE＝90°，点F是DE中点，

∴∠EAF＝∠CAM＝45°，AF＝FD＝EF，∠DAF＝45°，

∵△AFC是等边三角形，

∴AF＝AC＝FC

，∠FAC＝∠AFC＝∠ACF＝60°，

∴∠CAD＝∠CAF﹣∠DAF＝15°，

∴∠ADM＝∠ACB﹣∠CAD＝30°，

∴DM

AM

，

∴BD＝DM+BM

1，

由（2）的结论可得：FG⊥BC，FG

BD

，

∴△BDF的面积

．

综上所述：△BDF的面积为

或

．