人教版八年级数学下册P69页第14题：
如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．求证：AE=EF．
经过探究，甲同学认为要证明结论AE＝EF，就需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，他想到的方法是如图2，取AB的中点M，连接EM，证明△AEM≌△EFC．从而得到AE＝EF．
请你参考甲同学的方法解决下列问题：
（1）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，证明结论AE＝EF仍然成立．
（2）如图4，若把条件“点E是边BC的中点”改为：“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE＝EF是否还成立？若成立，请完成证明过程，若不成立，请说明理由．
【分析】（1）在AB上取点P，连接EP，根据全等三角形的判定求出△PAE≌△CEF，再根据全等三角形的性质得出即可；
（2）延长BA至H，使AH＝CE，连接HE，根据全等三角形的判定求出△HAE≌△CEF，再根据全等三角形的性质得出即可．
【解答】（1）证明：如图5，在AB上取点P，连接EP，使AP＝EC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，
大家通过深度研究，又总结出了以下三种思路：
思路一：如图（6），在AB的延长线上截取BN，使BN＝BE，连接NE，利用全等三角形和特殊四边形，转化得到线段之间的数量关系，获证；
思路二：如图（7），连接AC，过点E作EP⊥AC于点P，EQ⊥CF于点Q，利用全等三角形，获证；
思路三：如图（8），连接AC，作EG∥AB，交AC与点G，利用全等三角形，获证．
做完后，同学们展开了讨论，提出来以下想法：
若将题目改为：四边形ABCD是正方形，点E边BC上的任意一点，AE=EF，且EF交正方形外角平分线CF于点F．那么∠AEF＝90°成立吗？
一番讨论后，认为结论是显然成立的，下面给出两种基本的方法。
方法一：（作垂直，计算边长，再证全等）在过F作交BC延长线于G.
设AB=a,BE=t, CG=FG=b.
方法二：（作垂直，构造正方形，再证全等）如图（11）中，连接AC，过点E作EP⊥AC于点P，EQ⊥CF于点Q．
∵四边形ABCD是正方形，
总之，本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．在解题过程中，学会一题多解，互换条件和结论进行变式训练，那么解题的思路将会更加开阔，知识的运用也会更加灵活．
【作者简介】胡云端，男，理学学士，全国高中数学联赛二级教练员，先后任教于湖北省某县一中，广东省重点高中，现任教于市直学校，主要从事中学数学教学、教育信息化与课程融合的教学与研究工作。2017年完成中央电教馆一项青年课题研究(立项号123440854)，已结题；发表多篇论文，教学课件、论文、微课先后获得省级竞赛一二等奖。
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