苏州中考的宠儿—面积问题(4)
四、利用等积法转换
所谓等积法,主要指用两种不同的方式表示同一个图形的面积(包括割补法),从而找出图形中隐含的数量关系,课本中主要在勾股定理的证明和三角形的内切圆部分出现。在中考的动点面积问题中,经常会有图形的面积无法方便地直接表示,一般都会用这种方式进行转化。
例题一:(苏州2016年28)如图,直线l:y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM.设点M的横坐标为m,△ABM的面积为S.求S与m的函数表达式,并求出S的最大值;
分析
此题运用抛物线常规的铅垂法(也就是割的方法)不是很好,而使用等积法来处理就方便得多。
例题二:(2019年苏州27)已知矩形ABCD中,AB=5cm,点P为对角线AC上的一点,且AP=
(1)直接写出动点M的运动速度为 cm/s,BC的长度为 cm;(2)如图③,动点M重新从点A出发,在矩形边上按原的速度和方向匀速运动,同时,另一个动点N从点D出发,在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动,设动点N的运动速度为v(cm/s).已知两动点M,N经过时间x(s)在线段BC上相遇(不包含点C),动点M,N相遇后立即同时停止运动,记此时△APM与△DPN的面积分别为S1(cm2),S2(cm2)
①求动点N运动速度v(cm/s)的取值范围;
②试探究S1·S2是否存在最大值,若存在,求出S1·S2的最大值并确定运动时间t的值;若不存在,请说明理由.
分析
图中的两个三角形的面积用底乘以高的一半直接表示有一定的难度,考虑到对于放置不规则的三角形面积我们可以采用面积转换的方式,比如三角形APM的面积可以用四边形APBM的面积减去三角形ABM的面积得到。
总结:这类题目的特征是需要表示图形的面积,但是图形面积不易用面积公式直接给出。通常就需要通过用两种不同的方法表示同一个图形的面积来转化。
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