差一点

我们就擦肩而过了

有趣

有用

有态度

初中数学大多数学习的是平面几何，涉及空间的内容不多，无非就是了解棱柱棱锥、圆柱圆锥几个几何体，会求一些几何体的表面积，这就涉及曲面化平面的问题，很多的出题者就从这个角度出发，考察学生的几何直观空间想象能力和转化能力。其中最为常见的就是空间立体图形的最短路径问题。

一

旋转体曲面化平面

01

圆柱的展开

有一个小蚂蚁，想从圆柱的底部B点绕圆柱表面转一圈，到达顶部的A点，问走过的最短距离是多少？

分析：

上图为圆柱体侧面展开图，如图蚂蚁从点A沿圆柱表面爬行一周。到点B的最短路径就是展开图中AB′的长，

。做此类题目的关键就是，正确展开立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第三边”准确找出最短路径。

例题1：有一圆柱体油罐，已知油罐底面周长是12m，高AB是5m，要从点B处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达B点的正上方A处，问梯子最短有多长？

根据分析，我们可以作出如下解答：

02

圆锥的展开

例题2．如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径

，若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是。

分析：

将圆锥侧面展开就是一个扇形，而从A点绕行一圈回到A点的最短路径就是图中红线段AA’的长。

二

多面体化一个平面

01

棱柱（长方体、正方体）的展开

棱柱是多面体，有好几个面，在解决类似的最短问题时需要讲棱柱的几个面展开到同一个平面上来解决。

例3．已知长方体的长、宽、高分别为30cm、20cm、10cm，一只蚂蚁从A

处出发到B处觅食，求它所走的最短路径。（结果保留根号）

分析：

从A走到B不管怎样至少都会经过两个面，而经过两个面有如下三种情况，每种情况都有最短路径，至于哪一种最短，我们算出这三种最短路径，就知道哪条最短了。

02

台阶的展开

如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？

分析：

台阶的展开和多面体的展开其实是一回事，我们也只需要展开到同一平面就行了。

看完了上面的解答，大家现在对这种不是一个平面的最短问题是不是有一些解决方案了？方案就是展开到同一平面，利用两点之间线段最短来解决。弄懂上面的这些基础题，我们来挑战一下中考压轴题吧。

1.如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图 3 的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．由无锡

（1）请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD；

（2）计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度。

2.如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）

（1）假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图①，在盒子的内部我们先取棱BB1的中点E，再连接AE、EC1．虫乙如果沿路径A﹣E﹣C1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．仔细体会其中的道理，并在图①中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲；（请简要说明画法）

（2）如图②，假设昆虫甲从顶点C1，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1秒）

END

分享是一种积极的生活态度！

下面一些小举动，可以降低我们彼此错过的几率，您可以：

时不时点个“在看”
偶尔留言，哪怕跟我们say个Hi
给巨人花园公众号“标星”

本站仅提供存储服务，所有内容均由用户发布，如发现有害或侵权内容，请点击举报。