【试题1】如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△ADE,旋转角为α(0°<α<90°),连接BD交CE于点F.
(1)如图2,当α=45°时,求证:CF=EF;
(2)在旋转过程中,
①问(1)中的结论是否仍然成立?证明你的结论;
②连接CD,当△CDF为等腰三角形时,求tanα/2的值.
【图文解析】
(1)仅举一种解法:
(2)典型的等腰直角三角形的旋转问题,常有多种“旋转”法求解(本质类似):
从已知条件,结合图形可以得到的结论:
①结论仍然成立.证明如下:
【法一】过点E作EM∥BC交BE的延长线于M,如下图示:
先证∠M=∠CBD=∠EDM,得EM=DE=BC,再证△BCF≌△MEF,得CF=EF.
【法二】如下图所示:
【法三】过C点作CM∥BF将ED的延长线于M,连接CM.如下图示:
【法四】过C点作CG⊥CF交BF于G.如下图示(其中∠CFG=45°前面已证)
【法五】过点D作DG⊥DF交CF于点G,如下图示:
进一步,得∠AFE=∠ADE=90°.如下图示:
最后利用等腰三角形△ACE“三线合一”,得到CF=EF.
【法六】过E点作EG⊥CE交BF的延长线于点G,如下图示:
【法七】过B点作BG⊥BF交EC的延长线于点G,如下图示:
得到∠AFB=∠G=45°,进一步得到∠AFB=90°,即AF⊥CE,再根据等腰三角形“三线合一”得到CF=EF.
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【法八】过C点作CG⊥BF于G,如下图示,
不难证得CF:CG=CA:CB=√2:1.
进一步,得△BCG∽ACF,如下图示:
从而∠AFC=∠BGC=90°,下同……
【法九】由∠CFB=∠CAB=45°,利用“统一法”或“反证法”证明:A、B、C、F四点共圆,得到AC为其直径,得到∠AFC=90°,进一步……(此法不建议)
【法十】添加如下图所示的辅助线.
同时,通过证明B、G、C、H四点共圆,可得∠GCB=∠GHB.
另一方面,BF:BG=AB:BH=√2:1,且∠GBH=∠FBA=45°+∠FBH,得到△GBH∽△FBA,得到∠GHB=∠BAF.
从而∠BAF=∠GCB,进一步,得∠BAF+∠BCF=180°.又在四边形ABCF中,∠ABC=90°,根据四边形内角和为360°,得∠AFC=90°,即AF⊥CF.……
【原题再现】在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△ADE,旋转角为α(0°<α<90°),连接BD交CE于点F.在旋转过程中,
②连接CD,当△CDF为等腰三角形时,求tanα/2的值.
【图文解析】可以充分利用第二小题的相关思路和解法,进一步求解第三小题(本文仅提供一种解法)。
前面已经得到的结论:
当∠CDF=90°时,如下图示:
所以tanα/2=1/2.
当∠CDF=90°时,如下图示:
【反思】上述第二问的多种解法,多数是充分利用45°的角的“特殊功能”,本质类似于旋转,显然本题还可以利用其他相关条件通过对称、平移、旋转等构造等腰直角三角形,也可以利用辅助圆等,大同小异,有兴趣的朋友不妨试试,并请留言分享。
第二问
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