学好数学“绝对值”③

【例题剖析】

(1) 若关于x的方程 |x-1|+|x-t|=2022有实数解，则实数t的取值范围是____.

(2) 若关于x的方程 |x-1|+|x-2|+|x-t|

=2022有实数解，则实数t的取值范围是____.

(3) 若关于x的方程 |x-1|+|x-2|+···+

|x-t|=2022有实数解，则整数t的最大值是____.

(4) 若 |x-1|+|x-2|+···+|x-2022|的值为常数，则实数x的取值范围是____.

【题目解析】

(1) |x-1|+|x-t|表示的是数轴上表示x的点与表示1和t的两点的距离之和, 所以

|x-1|+|x-t|存在最小值|t-1|, 故当|t-1|≤

2022时,关于x的方程 |x-1|+|x-t|=2022

有实数解, 解得, -2021≤t≤2023；

(2) ①若t＜1, 则当x=1时, |x-1|+|x-2|+

|x-t|取得最小值2-t, 故当2-t≤2022, 

即当-2020≤t＜1时,关于x的方程 |x-1|

+|x-2|+···+|x-t|=2022有实数解；

②若1≤t≤2, 则当x=t时, |x-1|+|x-2|+

|x-t|取得最小值1, 故当1≤t≤2时, 关于

x的方程 |x-1|+|x-2|+···+|x-t|=2022

恒有实数解；

③若t＞2, 则当x=2时,|x-1|+|x-2|+|x-t|

取得最小值t-1, 所以当t-1≤2022, 即当2＜t≤2023时, 关于x的方程 |x-1|+

|x-2|+···+|x-t|=2022有实数解.

综上所述，满足题意的t的取值范围是-2020≤t≤2023.

(3)  对|x-1|+|x-2|+···+|x-t|=2022中的t进行分类讨论：

①若t为奇数,则当x=(t+1)/2时,|x-1|

+|x-2|+···+|x-t|取得最小值(t-1)+

(t-3)+···+(t-t)=(t²-1)/4, 所以当(t²-1)/4≤2022时, 关于x的方程|x-1|

+|x-2|+···+|x-t|=2022有实数解,解得,t≤√8089,因为89＜√8089＜90,   

所以整数t≤89，即t的最大值是89；

②若t为偶数, 则当t/2≤x≤(t+2)/2时,

 |x-1|+|x-2|+···+|x-t|取得最小值(t-1)

+(t-3)+···+1=t²/4, 所以当t²/4≤2022

时, 关于x的方程|x-1|+|x-2|+···+|x-t|

=2022有实数解, 解得, t≤√8088, 因

89＜√8088＜90,  所以整数t≤89, 即整数t的最大值是88.

综上所述, 整数t的最大值是89.

(4)  要使|x-1|+|x-2|+···+|x-2022|的值为常数, 需使x都消去, 故x与-x必须成对出现, 所以1022≤x≤1023.

The  End, Byebye!