本题选自2022年广西北部湾中考数学压轴题,题目以中点为背景,考查线段之间的数量关系与最值问题,主要转化为“两边之间,线段最短”进行求解。
以往此类问题在选择或填空题中出现的比较多。
【题目】
(2022·广西)已知∠MON=α,点A,B分别在射线OM,ON上运动,AB=6.
(1)如图①,若α=90°,取AB中点D,点A,B运动时,点D也随之运动,点A,B,D的对应点分别为A′,B′,D′,连接OD,OD′.判断OD与OD′有什么数量关系?证明你的结论;
(2)如图②,若α=60°,以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC,求点O与点C的最大距离;
(3)如图③,若α=45°,当点A,B运动到什么位置时,△AOB的面积最大?请说明理由,并求出△AOB面积的最大值.
【分析】
(1)根据直角三角形斜边中线的性质,可以得到OD=OD′=1/2AB=3。
所以OD与OD′是相等的。
如上图所示,点D随着点A的运动而变化,点D的轨迹为以O为圆心,3为半径的圆弧上运动。
(2)求OC的最大值。,
先连接OC,再取AB的中点G,连接OG与CG,可以发现O、G、C构成一个三角形,那怎么求OC的最大值呢?
观察图形可以发现OC≤OG+CG,当且仅当点O、G、C三点共线时取到最大值。
当O、G、C三点共线时,OC与AB垂直,此时△OAB为等边三角形,此时OC的最大值为OG+CG=3√3+3。
(3)本题与(2)有类似之处,求△AOB的面积最大值,只需令AB边上的高最大即可。
如上图,画出△AOB的外接圆,圆心为O′,那么∠AO′B=∠AOB=90°,△AO′B为等腰直角三角形。连接OO′,过点O′作O′H⊥AB于H,过点O作OG⊥AB于G。
而OG≤OO′+O′H=3√2+3,
当且仅当O、O′和H三点共线,与OG重合时OG取到最大值,
此时△AOB的面积最大。最大值为
S=1/2AB·(OO'+O'H)=9√2+9。
【总结】
本题的难点在于构造辅助线,其实还是比较容易猜测答案,因为题目给的角度是特殊的,而且取到最值也是最特殊的情况。
本题的模型其实源于课本勾股定理中的梯子滑动问题。
《八年级下册·数学》P25页。
2020年广东中考数学填空压轴题也有相关问题,具体请看《中考数学压轴题全解析》P79页。
还有更多最短路径问题的方法归纳。
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