2022北部湾中考数学压轴题分析3：中线与几何最值

本题选自2022年广西北部湾中考数学压轴题，题目以中点为背景，考查线段之间的数量关系与最值问题，主要转化为“两边之间，线段最短”进行求解。

以往此类问题在选择或填空题中出现的比较多。

【题目】

（2022·广西）已知∠MON=α，点A，B分别在射线OM，ON上运动，AB=6．

（1）如图①，若α=90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A′，B′，D′，连接OD，OD′．判断OD与OD′有什么数量关系？证明你的结论；

（2）如图②，若α=60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离；

（3）如图③，若α=45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，并求出△AOB面积的最大值．

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【分析】

（1）根据直角三角形斜边中线的性质，可以得到OD=OD′=1/2AB=3。

所以OD与OD′是相等的。

如上图所示，点D随着点A的运动而变化，点D的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆弧上运动。

（2）求OC的最大值。，

先连接OC，再取AB的中点G，连接OG与CG，可以发现O、G、C构成一个三角形，那怎么求OC的最大值呢？

观察图形可以发现OC≤OG+CG，当且仅当点O、G、C三点共线时取到最大值。

当O、G、C三点共线时，OC与AB垂直，此时△OAB为等边三角形，此时OC的最大值为OG+CG=3√3+3。

（3）本题与（2）有类似之处，求△AOB的面积最大值，只需令AB边上的高最大即可。

如上图，画出△AOB的外接圆，圆心为O′，那么∠AO′B=∠AOB=90°，△AO′B为等腰直角三角形。连接OO′，过点O′作O′H⊥AB于H，过点O作OG⊥AB于G。

而OG≤OO′+O′H=3√2+3，

当且仅当O、O′和H三点共线，与OG重合时OG取到最大值，

此时△AOB的面积最大。最大值为

S=1/2AB·(OO'+O'H)=9√2+9。

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【总结】

本题的难点在于构造辅助线，其实还是比较容易猜测答案，因为题目给的角度是特殊的，而且取到最值也是最特殊的情况。

本题的模型其实源于课本勾股定理中的梯子滑动问题。

《八年级下册·数学》P25页。

2020年广东中考数学填空压轴题也有相关问题，具体请看《中考数学压轴题全解析》P79页。

还有更多最短路径问题的方法归纳。