初中数学竞赛第六讲：实数运算之利用绝对值、算术根和非负性的性质

​

例1：已知（a+b）² + |b+5| = b+5 , 且 |2a-b-1|=0, 那么 ab=_________

解 由 b+5 =（a+b）² + |b+5| ≥0 ，得b+5=|b+5|，所以（a+b）²=0，即a=-b，又因为|2a-b-1|=0,所以|3a -1|=0 ,

例2: 试求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2023|的最小值。

解析：要求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2023|的最小值，只要在数轴上找到x所对应的点，使这点到1,2，3,...,2023所对应的点的距离和最小即可。此类型的题目若出现连续的数据（或者成等差数列）数为奇数个，则这个对应的x的值为中位数；若出现的连续的数据（或者成等差数列）数为偶数个，也可以用中位数的方法寻找x，当然此时对应的x可以是多个解。不难看出，此题对应的x的值为1012，所以最小值为：1011+1010+1009+...+2+1+0+1+2+...+1009+1010+1011

=1011×506=511566

例3：已知有理数a,b,c均不为0，且a+b+c=0，设

 ,试求代数式x¹⁹-99x+2022的值。

解析：因为a，b，c均不为0，且a+b+c=0,所以a,b,c中或两正一负，或两负一正，且a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，所以 x= 1，则原式=1-99+2022=1922

例4：若a,b,c为整数且|a-b|⁹⁹+|c-a|⁹⁹=1,求|c-a|+|a-b|+|b-c|的值

解析：因为a,b,c均为整数，所以|a-b|，|c-a|均为非负整数，由|a-b|⁹⁹+|c-a|⁹⁹=1得，只能是|a-b|=0，|c-a|=1或者|a-b|=1，|c-a|=0 所以要通过分类讨论解决上述问题，分类过程如下：

若|a-b|=0，|c-a|=1，则a=b,|b-c|=|c-a|=1,原式=1+0+1=2

若|a-b|=1，|c-a|=0 ，则a=c,|b-c|=|b-a|=1,原式=0+1+1=2

综上所述，原式=2

例5：实数x，y满足x≥y≥1,2x²-xy-5x+y+4=0，则x+y=______

解析：因为x≥y≥1，由题意得2x²-5x+4=y(x-1)≤x(x-1)，即x²-4x+4≤0，所以（x-2）²≤0，又因为（x-2）²≥0，所以x=2，代入题干等式得y=2，所以x+y=4

例6：若

,则

从以上各例可以看出，求解含有绝对值、算术根等非负数的代数式的值时，特别应该注意应用下列几个性质：

① 

②如果几个非负数之和小于或等于0，那么其中每个数都等于0，特别如果几个实数的平方和小于或等于0，那么这几个实数都等于0

​

每天八点更新…