2022安顺中考数学压轴题分析1：阿基米德折弦定理与平分周长问题

本题选自2022年安顺中考数学第11题，属于选择题。本题考查平分周长的问题，以往出现的比较少，在前几年有在网上讨论过此类的问题。大家可以研究下。

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【题目】

（2022·安顺）如图，在△ABC中，AC＝2√2，∠ACB＝120°，D是边AB的中点，E是边BC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（　　） 

A．√5/2

B．(√2+1)/2

C．√2

D．√3

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【答案】C

【分析】

本题中的关键点为点D是AB的中点，而DE又平分△ABC的周长，所以可以考虑从中点入手。

如上图所示，延长BC至点F，是的BE=EF，连接AF。

因为DE平分△ABC的周长，所以可以得到AC+CE=BE，那么就可以得到AC+CE=CF+CE，即AC=CF，而且它们的夹角∠ACF=60°，那么就可以得到△ACF为等边三角形，此时可以得到AF=CF=AC=2√2，而DE为△ABF的中位线，所以DE的长为AF的1/2，也就是√2。

那么答案就是C了。

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【拓展】

如果本题换一种问法，△ABC中AB为定值，∠ACB=120°为定角，且AC＜BC，在BC上求作一点E，使得DE平分△ABC的周长。或者直接说使得AC+CE=BE。

那怎么确定这个点呢？

这个图形比较特殊，里面蕴含了阿基米德折线定理。

先固定AB，由于∠ACB=120°，那么就可以确定点C的运动轨迹，也就是以圆心角∠AOB=120°所对的圆弧上面。若点M为弧AB的中点，过点M作ME⊥BC，可以得到点E即为所求，因此此时可以得到AC+CE=BE。