知识解读
必知点1．当题设中出现三角形的中线，可将中线延长一倍(如图1-3-1①)．
此时如果连接CE，可得△ABD≌△ECD(如图1-3-1②)；连接BE，可得△ACD≌△EBD如图1-3-1③)．
如果连接BE、CE则可得到一个平行四边形．
全等三角形和平行四边形可以得到相等的线段和相等的角，为解决问题提供便利．
必知点2．过一边两端点，作该边中线的垂线段．
如图1-3-1⑤，若AD为△ABC的中线，分别过点B、点C作中线AD的垂线段，可得△BDF≌△CDE．
必知点3．遇中点，构平行线，构造全等三角形．
如图1-3-1⑥，若点E是CD的中点，可过点D作DF∥BC，构造出与△BCE中心对称的△DEF，从而可利用全等三角形知识解决问题．
典例示范
1．倍长中线
例1 如图1-3-2，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，BA＝BD，求证：AC＝2AE．
【提示】
思路1：如图1-3-3，延长AE到点F，使得EF＝AE，连接DF．
思路2：如图1-3-4，延长AE到点F，使得EF＝AE，连接BF．
【技巧点评】
本题将AE延长加倍的好处：如果连接DF，则可得△ABE≌△FDE；如果连接BF，则可证明△ADE≌△FBE.由全等三角形我们能得出一些相等的线段和相等的角，从而为问题的最终解决创造条件.
2.作平行线，构造中心对称的三角形
例2 如图1-3-6，在△ABC中，AB=AC，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D，求证：DE=DF.
【提示】
思路1：如图1-3-7①，过点E作EG∥AF，交BC于点G；
思路2：如图1-3-7②，过点F作FH∥AB，交BC延长线于点H；
思路3：如图1-3-7③，分别过点E、点F作EM⊥BC于M，FH⊥BC，交BC的延长线于点H.
【技巧点评】
本题作辅助线的方法有多种，都是由中点构造X型的基本图形来解决问题的.
例3 （1）如图1-3-9①，在△ABC中，BD＝CD，∠1＝∠2，
求证：AB＝AC.
（2）如图1-3-9②，BD＝CD，∠1＝∠2，此时EB＝AC成立吗？请说明你的理由.
【提示】
（1）思路1：过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H；思路2：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE或CE均可.
（2）思路1：延长ED至M，使DM＝ED，连接CM；思路2：延长AD至P，使DP＝AD，连接BP.
【技巧点评】
图中虽然没有三角形的中线，但由于点D是BC的中点，因此ED可看作△BCE的中线，AD可看作△ABC的中线，因此我们仍然可以通过倍长中线的办法来构造全等三角形.
例4 （全国初中数学联合竞赛八年级题）在直角△ABC中，D为斜边AB的中点，E，F分别在AC，BC上，∠EDF＝90°，已知CE＝4，AE＝2，BF－CF＝1.5，求AB的长.
【提示】如图1－3－11，延长ED到点M，使DM＝ED，连接MB，MF.
联系客服
