2022黔西南中考数学压轴题分析2：矩形的存在性问题

本题选自2022年贵州省黔西南的中考数学压轴题，以二次函数为背景，考查矩形的存在性问题，与前面黔东南州的压轴题有类似之处。

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【题目】

（2022·黔西南）如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝-x²+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线y＝-x²+bx+c的表达式；

（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；

（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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【分析】

（1）抛物线经过原点与点B，代入点坐标，即可得到结论。求得抛物线的解析式为y＝-x²+4x。

（2）求直线AB的解析式，易得为y=-x+4，那么就可以设点M的坐标，表示出点N的坐标，再根据MN=2，且MN与y轴平行，可以得到点M的坐标。

设M（m，-m+4），N（m，-m²+4m），其中0≤m≤4，

MN＝|-m+4-(-m²+4m)|＝|m²-5m+4|＝2，

解得m1=(5-√17)/2，m2=(5+√17)/2（舍去），m3＝2，m4＝3。

那么点M的坐标为（(5-√17)/2，(3+√17)/2），（2，2）或（3，1）。

（3）本题虽然是矩形的存在性问题，实际上仍然是转化为直角三角形的存在性问题。本题的难点在于点P在抛物线上运动，不好确定当∠APC=90°时点P的坐标。

根据“两线一圆”模型，可以得到满足题意的点共有四个。

本题用代数法设点P的坐标，分别表示出PA²，PB²与AC²，根据勾股定理建立等量关系，进行求解即可。

最终得到点Q的坐标为（5，1），（﹣4，﹣2），（(7-√5)/2，(1-√5)/2）或（(7+√5)/2，(1+√5)/2）。

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【总结】

本题主要考查存在性问题，利用代数法直接列方程求解比较简便，不需要看图。当然，很多时候几何法作图再求解，也容易找到突破口。

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