本题选自2022年海南省中考数学压轴题,以二次函数为背景。考查四边形面积的求法,线段比例的最值,直角三角形的存在性,以及正方形的存在性等问题。题目问法较多,比较综合,可以研究一下。
(2022·海南)如图1,抛物线y=ax²+2x+c经过点A(-1,0)、C(0,3),并交x轴于另一点B,点P(x,y)在第一象限的抛物线上,AP交直线BC于点D.(2)当点P的坐标为(1,4)时,求四边形BOCP的面积;(3)点Q在抛物线上,当PD/AD的值最大且△APQ是直角三角形时,求点Q的横坐标;(4)如图2,作CG⊥CP,CG交x轴于点G(n,0),点H在射线CP上,且CH=CG,过GH的中点K作KI∥y轴,交抛物线于点I,连接IH,以IH为边作出如图所示正方形HIMN,当顶点M恰好落在y轴上时,请直接写出点G的坐标.
(1)求函数表达式,代入点坐标即可,根据待定系数法列方程组求解。(2)如图,先连接CP与BP构成四边形。当点P(1,4)位置确定时,四边形BOCP的形状与大小就确定了。求面积的方法比较多样,一般选择割补法求解,如图连接PC,可以得到两个三角形,且它们的底均在坐标轴上。直接利用面积公式可解。(3)前提条件为PD/AD取最大值时,比例问题考虑相似。分别过点A和P作y轴的平行线,交BC与点E和F。可以得到AE为定值,而△AED∽△PFD,所以当PF取最大时,PF/AE最大,此时PD/AD最大。那么上题的本质就是求PF的最大值。设点P的坐标,表示出PF的长,然后求出最值即可。设P(m,-m²+2m+3)则F(m,-m+3),此时A与P都是顶点,要在抛物线上确定一点Q使得三点构成直角三角形。这就是常见的“两线一圆”模型。由于点Q在抛物线上,因此不太好表示。当然,仍然可以设未知数进行求解。再利用勾股定理或者相似进行求解。过点A和P构造两线一圆模型,可以发现,抛物线上有4个点满足要求。其中2个点分别在过点A和P的垂线上,另2个点在圆上。可以利用勾股定理,或者相似进行求解。①如图,当∠PQA=90°时,构造三垂直模型,可以得到一组相似。,
解得。
综上所述,点的横坐标为:或1或或。
(4)本小题主要包含等腰直角三角形和正方形,可以利用这两个特殊的图形得到全等,进而得到坐标的关系。
先设点,
由于且它们互相垂直,所以根据全等可以得到,
又由于为的中点,所以,,
根据轴,得,。
如下图,再构造三垂直模型,得到全等。
那么,
,
,
,(舍去),
,。
本题不难,但是小问题比较多,特别是第(3)小题,涉及抛物线上求直角三角形的顶点坐标,容易出现三次或四次的方程。因此如何列方程就显得尤为重要。在解题的时候,尽量利用已知的线段进行求解,可以使得方程更简洁。