二次函数与不等式与方程的关系

二次函数y=ax^2+bx+c,当y=0时，就变成了一元二次方程ax^2+bx+c=0，也就是说给y一个具体的数，就变成了一个具体的一元二次方程，那么方程的解与函数图像有着什么关系哪？当y>0时，就变成了不等式ax^2+bx+c>0，那么不等式的解集与函数图像有着什么关系哪？解决这类问题的思想方法是数形结合，化“数”为“形”，以“形”释“数”。

例1 二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,二次函数图像与x轴的交点坐标为A,B.方程ax^2+bx+c=0的解为___________.

【解析】当y=0时，二次函数图像上点的纵坐标为0，纵坐标为0的点在图像上得位置恰好在x轴上，要求交点的横坐标，则需求解方程ax^2+bx+c=0。因此，一元二次方程ax^2+bx+c=0的解，就是二次函数的图像y=ax^2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标，反之，亦然。

【解析】一元二次方程ax^2+bx+c=1的解，就是二次函数的图像y=ax^2+bx+c(a≠0)与直线x=1交点的横坐标。

【解析】一元二次方程ax^2+bx+c=mx+n的解，就是二次函数的图像y=ax^2+bx+c(a≠0)与直线y=mx+n(m≠0)交点的横坐标。

  例2 二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,二次函数图象与x轴的交点坐标为A,B.当y>0时,x的取值范围是___________.

【解析】 二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数值y>0,反映在函数图像上是所有纵坐标大于0的点的集合，即位于x轴上方的函数图像，对应的自变量的取值范围就是这些点的横坐标的集合。

【解析】 二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数值y<1,反映在函数图像上是所有纵坐标小于1的点的集合，即位于直线y=1下方的函数图像，对应的自变量的取值范围就是这些点的横坐标的集合。

归纳总结