数形结合——二次函数与方程（1）

函数描述的是两个变量之间的依赖关系，像y=ax^2+bx+c.方程描述的是含有未知数的等量关系，因此可以将函数看做方程式函数，例如ax^2+bx+c-y=0。方程ax^2+bx+c-y=0的任意一组解，构成一个有序数对（x，y）,反映在函数图像上就是任意一点的坐标（x，y）。因此，在解决含有参数方程的解的存在性问题的过程中，可以将其转化为函数图象交点的问题。那么，如何建立函数与方程的联系哪？下面我们以下面例题为例：

例1 抛物线y=x^2+bx+3的对称轴是直线x=1.

(1).若关于x的一元二次方程x^2+bx+3-m=0(m为实数)有实数根,求m的取值范围；

(2).若关于x的一元二次方程x^2+bx+3-m=0(m为实数)在-1<x<2的范围内有实数根,求m的取值范围；

答案：（1）m≥2；（2）2≤m<6。

【解析】由对称轴x=1可得b=-2,从而得到y=x^2-2x+3。第一步,化数为形。分离原方程得到x^2+bx+3=m，然后分别令y=x^2-2x+3和y=m,接着在平面直角坐标系内画出y=x^2-2x+3的示意图。m是参数，因此y=m是过点（0，m）并且与x轴平行的一簇直线。第二步，以形释数，观察参数m是如何决定函数y=x^2-2x+3的图像象与函数y=m的图象有交点情形的。当m<2时，无交点，对应方程无实数解；当m=2时，有一个交点，对应方程有两个相等的实数解；当m>2时，有两个交点，对应方程有两个不相等的实数解；综上所述,当m≥2时，关于x的一元二次方程x^2+bx+3-m=0(m为实数)有实数根。

【解析】判断关于x的一元二次方程x^2+bx+3-m=0(m为实数)在-1<x<2的范围内有实数根，反映在函数图象上就是，函数y=x2+bx+3的图像象与函数y=m的图象在-1<x<2的范围内有交点。由图可知,当m<2时，无交点，对应方程无实数解；当m=2时，有一个交点，对应方程有两个相等的实数解；当2<m<3时，有两个交点，对应方程有两个不相等的实数解；当3≤m<6时，有一个交点，对应方程有一个实数解；综上所述,当2≤m<6时，关于x的一元二次方程x^2+bx+3-m=0(m为实数)有实数根。(这里需要注意的是自变量x≠-1，所以m≠6)。