本题之前在QQ群有同学问过这道题目,当时没有特别留意,才发现原来这是今年湖北鄂州中考数学的选择压轴题。题目图形较为复杂,有一定难度。同学们可以仔细研究下,如何把复杂的问题化为转化为已知的问题进行求解。
【题目】
如图,定直线MN∥PQ,点B、C分别为MN、PQ上的动点,且BC=12,BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ=60°.点A是MN上方一定点,点D是PQ下方一定点,且AE∥BC∥DF,AE=4,DF=8,AD=24√3 ,当线段BC在平移过程中,AB+CD的最小值为( )
A.24√3
B.24√15
C.12√13
D.12√15
【答案】C
【分析】
本题的条件比较多,也比较复杂,需要进行仔细的分析。
首先,目标是求AB+CD的最小值。
可以发现点A与点D为平面内的定点,而MN与PQ为互相平行的定直线。
由于BC与两直线的夹角∠BCQ=60°始终保持不变。可以得到BC的长也是不变的。
但是随着BC的一动,AB与CD的长度会发生变化。而AB与CD中间隔了BC。这个和教材中的造桥选址问题是一样的。只是桥变成斜的了。那么作法还是一样的。先把BC两个点合并到一起。也就是说经过平移,使得点B与点C重合。此时线段AB与CD就连接在一起了,可以不考虑中间BC长度的影响。如图,过点A作BC的平行线AA′,并在AA′上截取线段AA′=BC,连接CA′,那么就可以得到四边形ABCA′为平行四边形,则AB=CA′,那么求AB+CD的最小值问题就可以转化为了求CA′+CD的最小值了。那么什么时候CA′+CD最小呢,也就是当点A′,C和D三点共线时最小,如下图所示。如图,AB+CD=CA′+CD≥A′D,当且仅当点A′、C、D三点共线时取得最小值为A′D的长度。那么怎么求A′D的长度呢?一般考虑利用特殊三角形等性质。标出已知条件如下:延长AA′,过点D作MN的平行线,它们交于点G。可以得到AE=4,GE=12+8=20,那么AG=24,已知AD=24√3,∠G易得为60°。
那么可以发现△ADG为含60°角的直角三角形,∠DAG=90°。那么要求A′D的长度就不难了。直接在Rt△AA′D中求解即可。
那么可以得到A′D=√(AD²+AA′²)=12√13。下面是动图演示BC运动过程中AB与CD和的变化情况。(备注:其中长度是原图中的长度,与题目的数据没有进行转换。)这里还有一个疑问就是如何证明∠DAG=90°,很多同学对此可能有疑问。也就是说∠G=60°,AD=√3AG,怎么证明∠GAD为直角。
一种方法是根据高中的余弦定理,直接求出cos∠DAG,然后得到∠DAG的大小。
另一种思路就是根据初中阶段的知识,过点A作DG的垂线,构造直角三角形进行求解即可。如图,∠G=60°,AH⊥DG,那么就可以得到GH=1/2AG=12了,则AH=√3GH=12√3,由于AD=24√3,那么就可以得到DH=36,进而得到DG=48。
此时AG=24,AD=24√3,DG=48,根据勾股定理的逆定理,就可以得到这是一个直角三角形,∠DAG=90°。
造桥选址类问题,常常把两个断开的点,通过平移进行转化。然后再根据两点之间线段最短得到结论。本题另一个难点就是求线段的长度。当然万变不离其宗。
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