垂径定理（三）——分类讨论

垂径定理是圆的轴对称性质的具体表述形式，它刻画了圆在确定对称轴的背景下几何元素之间的等量关系。垂径定理描述的是：垂直于弦的直径平分线,以及平分弦所对的两条弧，其本质是“以弦定轴”，即通过弦来确定圆的对称轴。

本文主要利用垂径定理解决一些原题中不含有图形的题目，对于这类题目常常要根据题意画出符合题意的图形，然后分析图形特征，结合垂径定理解决问题。正是不含图形，因此才有可能存在多种情形，要注意分类讨论。

例1 已知AB是圆O的弦,OM⊥AB,垂足为M,连接OA,若△AOM中有一个角是30°,若OM=2,求AB的长.

【解析】解决问题的突破口：画出示意图分情形讨论。△AOM中有一个角是30°，意味着∠AOM=30°或者∠OAM=30°。

例2 已知圆O的半径为10cm,AB为直径,CD为弦,CD⊥AB,垂足为E,若CD=12cm,求AE的长.

【解析】弦CD=12cm，且CD⊥AB，分为两种情形.CD在圆心O的下方，或者CD在圆心O的上方。

例3 已知圆O的半径为13cm,弦AB//CD,AB=24cm,CD=10cm,求AB与CD之间的距离.

【解析】分类讨论：①如图1,AB与CD在圆心O的异侧；②如图2,AB与CD在圆心O的同侧.

   例4 已知圆O的直径CD=10cm,AB是圆O的弦，AB⊥CD，垂足为E，若AB=8cm.求AC的长.

【解析】分类讨论：①如图1,AB在圆心O的下方；②如图2,AB在圆心O的上方.