二次函数图像的平移、翻折与旋转

二次函数的图像经过平移、翻折与旋转后，图像的位置发生变化，图像的位置变化引起了解析式的变化。如何求位置变化后图像的解析式哪？图像由点构成，图像的位置变化就是点的位置变化，因此求经过变化后的二次函数的解析式，只要求出变换后的图像的某些点的坐标即可。

例1 已知二次函数y=(x-1)^2+2.

(1).将二次函数的图像先向右平移2个单位,再向下平移1个单位后得到图像的解析式是什么？为什么？

(2).将二次函数的图像先向左平移2个单位,再向上平移1个单位后得到图像的解析式是什么？为什么？

(3).将二次函数的图像沿x轴翻折后得到图像的解析式是什么？为什么？

(4).将二次函数的图像沿y轴翻折后得到图像的解析式是什么？为什么？

(5).将二次函数的图像绕原点O旋转180°后得到图像的解析式是什么？为什么？

(6).将二次函数的图像绕点(0,1)旋转180°后得到图像的解析式是什么？为什么？

【解析】上加下减:二次函数的图像上下平移时,需要在函数解析式的右侧加上(或减去)平移的单位数；左加右减：二次函数的图像左右平移时,需要将函数解析式中的自变量加上(或减去)平移的单位数。比如（1）中，向右平移2个单位，原图像解析式中的x变成（x-2）;(2)中，向左平移2个单位，原图像解析式中的x变成（x+2）;

为什么左右平移时，解析式是这样变化的哪？下面以向左平移m(m>0)个单位为例说明：

【解析】方法一：找到沿x轴翻折后的图像的顶点坐标（1,-2）,在根据图像开口的位置得到二次项系数为-1，从而得到翻折后函数的解析式。方法二：设新图像上点的坐标为（x,y）,只要求出x与y的数量关系式即可。寻找原图像上的点与翻折后图像上的对称点之间的关系，然后用含有x，y的代数式表示出原图像上的点的坐标，再代入原函数关系式。

【解析】注意沿y轴翻折，图像的开口方向不变。

【解析】两点关于原点对称，它们的坐标符号相反。

【解析】两点关于某一点对称，则这一点是对称点连线的中点。那么由中点坐标公式可以已知两点求出第三点。

中点坐标公式