切线长定理

从圆外一点可以作几条与圆相切的直线，如何用尺规作图作出这样的切线？三角形的面积与它的周长和内切圆的半径有什么样的关系？

 知识点 ：过圆外一点P可以作两条切线，作法如下：

1.连接OP;

2.取OP的中点(作OP的垂直平分线);

3.作圆C，半径OC，交圆O于点A,B;

4.连接PA,PB.即PA,PB是圆O的两条切线.

为什么这样作出的直线就是切线哪？

∵PO是直径

∴∠PAO=∠PBO=90°

∵OA,OB是圆O的半径

∴PA,PB是圆O的切线

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

∵PA,PB是圆O的切线

∴PA=PB,PO平分∠APB.

另外连接AB，图形中能够还可以得出：

OP平分∠AOB，OP垂直平分AB，E是弧AB的中点，

∠APB+∠AOB=180°。

  例1  △ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且 AB=9,BC=14,CA=13.求 AF,BD,CE的长．

【分析】：主要考察切线长定理。假设AE=AF=x,然后用含有x的代数式分别表示出BD，CD，根据BD+CD=BC建立方程求出x。

    例2  在Rt△ABC中,∠C=90°,△ABC的内切圆⊙O与AC,BC,AB分别相切于点D,E,F, AB,BC,CA的长分别为c,a,b.求△ABC的内切圆的半径.

【分析】：主要考察切线长定理。连接OD，OE，易得四边形ODCE是正方形。假设OE=OD=r,然后用含有x的代数式分别表示出AF，BF，根据AF+BF=BA建立方程求出r。

【分析】：主要利用等面积建立三角形面积与周长与半径之间的联系。

为什么在直角三角形中，方法一与方法二得到代数表达式形式不同哪？这是因为在直角三角形中,a^2+b^2=c^2,即a,b,c三者之间存在着这样的数量关系，尽管表达式不同，但两者代表的数值是相同的。我们可以利用作差或者作商的方法证明这两个代数式的值是相等的。

△ABC的面积=△ABC的周长与内切圆半径乘积的一半。