知识解读
菱形是一个特殊的平行四边形,理解菱形的定义,可从菱形的共性和特性两个方面来理解.
共性:菱形是一个特殊的平行四边形,它具有平行四边形的一切性质,如对边平行且相等,对角相等,邻角互补,对角线互相平分等。
菱形的特性主要体现在两个方面:①邻边相等;②对角线互相垂直
判断一个四边形是菱形有三种方法:
方法1:有一组邻边相等的平行四边形是菱形
方法2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形
方法3:四条边相等的四边形是菱形。
如果把一组邻边相等和对角线互相垂直看作菱形的特征,前两种判断方法可以理解为“平行四边形+菱形特征=菱形”,也就是说,要证明一个四边形是菱形,可先证明这个四边形是一个平行四边形,然后再添加一个菱形的特征。
典例示范
一、菱形四边相等为全等提供了可能
例1如图4-16-1①,在菱形ABCD中,点E,F分别为AB,AD的中点,连接CE,CF.
(1)求证:CE=CF;
(2)如图4-16-1②,若H为AB上一点,连接CH,使∠CHB=2∠ECB,求证:CH=AH+AB.
【提示】(1)由菱形ABCD中,点E,F分别为AB,AD的中点,易证得△BCE≌△DCF(SAS),则可得CE=CF;
(2)延长BA与CF,交于点G,由平行线的性质,可得AG=AB,∠G=∠FCD,由全等三角形的对应角相等,可得∠BCE=∠DCF,然后由∠CHB=2∠ECB,易证得∠G=∠HCG,则可得CH=GH,则可证的结果。
【技巧点评】
菱形的四条边相等、对角相等,这就为全等三角形提供了条件,因此菱形问题常常与全等三角形联系在一起.
二、菱形被两条对角线分成四个直角三角形
例2 已知一个菱形的周长是20cm,两条对角线的比是4:3,则这个菱形的面积是( )
A.12cm2 B.24cm2 C.48cm2 D.96cm2
【提示】菱形的周长是20cm,故边长为5cm,又两条对角线的比是4:3,不妨设两条对角线长为4k,3k,因菱形的对角线互相垂直平分,同勾股定理可得(4k)2+(3k)=100,可求出k的值,即可求出菱形的两条对角线的长,代入菱形的面积公式,可求出菱形的面积.
【技巧点评】
菱形的一边和两条对角线的一半构成直角三角形,在直角三角形中,应用勾股定理,是解决这个问题的基本思路,本题在计算菱形的面积的时候,应用了菱形的面积等于对角线之积的一半.
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