初中数学几何培优第十七讲：菱形的判定与性质(上）

知识解读

菱形是一个特殊的平行四边形，理解菱形的定义，可从菱形的共性和特性两个方面来理解.

共性：菱形是一个特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质，如对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分等。

菱形的特性主要体现在两个方面：①邻边相等；②对角线互相垂直

判断一个四边形是菱形有三种方法：

方法1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

方法3：四条边相等的四边形是菱形。

如果把一组邻边相等和对角线互相垂直看作菱形的特征，前两种判断方法可以理解为“平行四边形+菱形特征=菱形”，也就是说，要证明一个四边形是菱形，可先证明这个四边形是一个平行四边形，然后再添加一个菱形的特征。

   典例示范  

一、菱形四边相等为全等提供了可能

例1如图4-16-1①，在菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，连接CE，CF.

（1）求证：CE=CF；

（2）如图4-16-1②，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB.

【提示】（1）由菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，易证得△BCE≌△DCF（SAS），则可得CE=CF；

（2）延长BA与CF，交于点G，由平行线的性质，可得AG=AB，∠G=∠FCD，由全等三角形的对应角相等，可得∠BCE=∠DCF，然后由∠CHB=2∠ECB，易证得∠G=∠HCG，则可得CH=GH，则可证的结果。

【技巧点评】

菱形的四条边相等、对角相等，这就为全等三角形提供了条件，因此菱形问题常常与全等三角形联系在一起．

二、菱形被两条对角线分成四个直角三角形

例2  已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（    ）

A．12cm²          B．24cm²         C．48cm²            D．96cm²

【提示】菱形的周长是20cm，故边长为5cm，又两条对角线的比是4：3，不妨设两条对角线长为4k，3k，因菱形的对角线互相垂直平分，同勾股定理可得（4k）²＋（3k）＝100，可求出k的值，即可求出菱形的两条对角线的长，代入菱形的面积公式，可求出菱形的面积．

【技巧点评】

菱形的一边和两条对角线的一半构成直角三角形，在直角三角形中，应用勾股定理，是解决这个问题的基本思路，本题在计算菱形的面积的时候，应用了菱形的面积等于对角线之积的一半．