初中数学几何培优第十九讲：矩形的判定与性质（上）

知识解读

矩形是特殊的平行四边形，理解矩形的定义，我们可从矩形的共性和特性两个方面来理解.

共性：矩形是一个特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质，如对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分等.

特性：矩形的四个内角都等于90°，矩形的对角线相等.

矩形的对称性：矩形作为一个特殊的平行四边形，它应该是一个中心对称图形，同时由于对角线将矩形分成四个等腰三角形，相对的两个等腰三角形全等，所以矩形又是轴对称图形，它有两条对称轴.

判定一个四边形为矩形，可从两个角度进行证明：一是证明它有三个角为直角；另一个是先证明它为平行四边形，再证它有一个角为直角或两条对角线相等.

典例示范

一、利用矩形对角线分得的四个等腰三角形进行角度的计算

例1如图4-17-1，在矩形ABCD中，AE⊥BD，∠DAE：∠BAE=3：1，求∠BAE，∠EAO的度数.

【提示】利用“∠DAE：∠BAE=3：1”“∠BAD=90°”，可求得∠BAE，然后借助△A0B是等腰三角形，求得∠AOB的度数，进而利用∠AEO=90°，求出∠EA0的度数.

 

【技巧点评】

矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决.

二、利用矩形对边平行且相等，邻边垂直解决问题

例2如图4-17-2，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED. 求证：AE平分∠BAD.

【提示】由于∠BAD=90°，要证明AE平分∠BAD，只需设法求得∠BAE=45，可先证明BEF≌CDE，然后证明△ABE是等腰直角三角，即可证得∠BAE=45°.

【技巧点评】

本题证明△BEF ≌ △CDE的三个条件，除了EF ＝ ED已知之外，其他都是通过矩形的性质得到的，证明△ABE是等腰直角三角形，也用到矩形的对边相等来证明.