直角坐标系下三角形面积求法——水平宽铅垂高

前一阶段我们探讨了一次函数和三角形的面积问题，后台有一些同仁提出了一些宝贵的看法，在此笔者表示感谢。我们知道对于不规则三角形的面积肯定是用割补法，由此引申出一种水平宽铅垂高的做法，也就是铅垂法。今天我们来深入地探讨一下铅垂法的做法依据。

我们先从三个顶点都确定的三角形来看。

如图，在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标为A（1，1）、B（3，4）、C（5，2），试求△ABC的面积。

显然这个三角形属于我们说的所谓不规则三角形（三条边均不和坐标轴平行，且不在坐标轴上），所以我们的基本思路是割补法。由于此题相对来讲比较简单，我就简单用图形罗列一下各种不同的解法。

方法一：

方法二：

方法三：

方法三是过点B作AC的平行线将不规则的△ABC转化为规则的△ADC从而来求解的过程，其实我们还可以过点A作BC的平行线或者过点C作AB的平行线来进行转化。鉴于这不是本文研究的重点，另外两种方法在此略过。

方法四：

方法五：

方法六：

方法七：

方法八：

方法九：

方法四、方法五都是在点B处处理，方法四是在点B处作y轴的平行线，方法五是在点B处作x轴的平行线；

方法六、方法七都是在点A处处理，方法六是在点A处作y轴的平行线，方法七是在点A处作x轴的平行线；

方法八、方法九都是在点C处处理，方法八是在点C处作y轴的平行线，方法九是在点C处作x轴的平行线。

我们再来研究这六个图：

如果我们对这六种方法都进行运算、思考，我们就会发现△ABC的面积为图中两个红色线段（一横一竖）乘积的一半。这就是所谓的铅垂法求面积。

那么如何构造这些线呢？我的看法是选三角形的两个顶点（比如A和B），将AB之间的横坐标体现的横着的线段找出来（图５中的AM），最后一个顶点C作竖着的直线交AB边于点D，此时竖着的线段就是CD，然后利用AM和CD乘积的一半来求解。或者将AB之间的纵坐标体现的竖着的线段找出来（图6中的AM），过第三个顶点C作横着的直线交AB边于点D，此时横着的线段就是CD，然后利用AM和CD乘积的一半来求解。

从上面的分析来看，这几种方法计算量是差不多的。

由此我们总结出一个普遍的方案：

如图所示，过△ABC三个顶点分别作x轴的垂线，其中过A，C两条垂线与x轴交于点E，F，线段EF的长度称为△ABC的水平宽，而过B点的垂线与边AC交于点D，线段BD的长度称为铅垂高，则S△ABC＝，此即为三角形水平宽铅垂高面积公式，其中水平宽EF通常取最外两条垂线的宽度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B）与边（AC）交点（D）之间的距离.

下面我们来看一下有一个顶点不固定的状况。

如图，直线y=﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线

相交于点A．在直线y=﹣2x+7上是否存在点P，使△OAP的面积等于6？若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．

分析：我们可以发现这样的点有两个（如下图）。下面就是考虑怎么处理为好。我们以第一幅图为例讲解。

通过对前面题目的分析，使用铅垂法我们有下面六种做法，那种方法更简洁是我们需要考虑的问题，也就是说下面六幅图中的红色线段是否容易表示的问题。在此我就不一一赘述了，大家思考之后内心肯定会有答案。

综上所述就是网上流行的铅垂法求面积的情况，我个人的看法是不能只记公式，需要自己作割补来处理，看看怎样表示这些线段为好，只不过有时我们这样做下来可能速度快一些而已。

END