知识解读
古希腊数学家毕达哥拉斯认为:“一切立体图形中最美的是球形,一切平面图形中最美的是圆形。”圆的美体现在它既是轴对称图形,又是中心对称图形,而且绕圆心旋转任意的角度都能与自身重合。由圆的对称性研究了很多重要的定理:同圆或等圆的半径相等;垂径定理及其推论;同圆或等圆中,圆心角、弧、弦之间的关系;圆周角定理等。这些性质在证明或计算时往往通过构造直角三角形,使其三边分别为“弦长的一半,圆的半径,圆心到弦的距离”,常与勾股定理相结合.巧用圆的对称性能妙解许多问题,可使解题方法更灵活,思想更丰富,叙述更简洁,答案更完整。
典例示范
例1:点P是半径为5的⊙O内一点,且OP=3,则过点P的所有弦中,长度为整数的弦一共有____条.
【提示】过点P的最长弦是直径AB,最短的弦是与OP垂直的弦CD.(辅助线作法见文末)
拓展训练一:
已知⊙O的直径AB=10cm,CD是⊙O的弦,CD⊥AB,垂足为M,且CD=8cm,则AC的长为_______cm.
【提示】如图1-3-1,根据圆的对称性,符合条件的弦CD应该有两条。连接OC,通过解Rt△CMO和Rt△ACM使问题获解.
拓展训练二:
如图1-3-2,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,点B为劣弧AN的中点,点P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为_________.
【提示】可以根据圆的轴对称性作出点A或点B关于MN的对称点,然后确定当PA+PB有最小值时点P的位置.
例题1解析图
联系客服