【初中数学】王桥：小议面积与面积法（2） ——什么时候用“面积法”

上回书咱们说到：运用面积公式、面积之间的和差关系、面积的不变性以及与面积相关的定理解决问题的方法统称为面积法。面积法是解决数学问题的又一利器！咱们今天共同探讨下什么时候可用面积法。

一、知面积、求面积——用面积！

当题目中已知某个图形的面积，或者求某个图形的面积时，就要想想用面积法。

例1、如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在CD，AD上，CE=DF，BE、CF相交于点G。若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3，求△BCG的周长。

例2、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，求sin∠BOE的值。

例3、如图，已知正方形ABCD的边长为1，E为BC中点，求图中阴影部分的面积。

例4、如图，中，AD=1，DC=2，AB=4，E是AB上一点，且的面积等于面积的一半，求EB的长。

例5、如图，已知△ABC≌△DCE≌△GEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BG，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S_△PQC＝3，则图中三个阴影部分的面积和为   ．——郑州一模考试试题

二、高不离积，积不离高

常言道：高不离积，积不离高！即题目中“遇到垂线段，常常想面积”；“遇到面积，常想垂线段”。因此才有《从一道题目的多种证法谈起》提到的以下证法：

原来一切都是“有预谋的”——因为题目中的“三条垂线段”就是露出的马脚！同样的，上次咱们留下的下面这几道经典的题目，就很有代表性，也是用到了“高不离积”的策略的：

例6、如图1，若△ABC为边长为a的正三角形，点P为△ABC内部的任意一点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，求证：PD+PE+PF为定值；

【解析】这道题目，也有个非常显著的特征——有三条垂线段！是以可以用面积法。

其实，这道题，我们还可用“特值法”搞定（详见《冲刺十招》第一招“绝境逢生用'特值’”）。

我们甚至还可以将这道题目升一下级，也就是上一篇文章的课后第3小题，即下面的探究问题：

例7、若P为边长为a的正△ABC为所在平面内任意一点，点P到△ABC三条边AB、BC、AC的距离PD、PE、PF的长分别为h₁、h₂、h₃，正△ABC的高为h，试探究h₁、h₂、h₃和h之间的关系......

【解析】这则要分以下几种情况讨论：

（1）如图1，若点P在△ABC内部，则h₁+h₂+h₃=h；——证明同上，略。

（2）如图2，若点P在△ABC上（h₁、h₂、h₃有一个或两个为0），则h₁+h₂+h₃=h；——证明同上，略。

（3）如图3，若点P在△ABC外，则h₂+h₃-h₁=h；——证明同上，略。

（4）如图4，若点P在△ABC外，则h₁+h₂-h₃=h；——证明同上，略。

（5）如图5，若点P在△ABC外，则h₁+h₃-h₂=h；——证明同上，略。

上次的练习第4题虽然不难，但也很有代表性：

例8、（2020青海）如图6，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝  ．

干净利索，避免了反复运用勾股定理或用相似构造方程的繁琐计算，也是很有特色的。

还可以在什么时候可以用面积法？欢迎大家交流分享自己的经验！