上回书咱们说到:运用面积公式、面积之间的和差关系、面积的不变性以及与面积相关的定理解决问题的方法统称为面积法。面积法是解决数学问题的又一利器!咱们今天共同探讨下什么时候可用面积法。
一、知面积、求面积——用面积!
当题目中已知某个图形的面积,或者求某个图形的面积时,就要想想用面积法。
例1、如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E、F分别在CD,AD上,CE=DF,BE、CF相交于点G。若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3,求△BCG的周长。
例2、如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE⊥AC,交AB于E,若BC=4,△AOE的面积为5,求sin∠BOE的值。
例3、如图,已知正方形ABCD的边长为1,E为BC中点,求图中阴影部分的面积。
例4、如图,中,AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点,且的面积等于面积的一半,求EB的长。
例5、如图,已知△ABC≌△DCE≌△GEF,三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上,连接BG,分别交AC、DC、DE于点P、Q、K,其中S△PQC=3,则图中三个阴影部分的面积和为 .——郑州一模考试试题
二、高不离积,积不离高
常言道:高不离积,积不离高!即题目中“遇到垂线段,常常想面积”;“遇到面积,常想垂线段”。因此才有《从一道题目的多种证法谈起》提到的以下证法:
原来一切都是“有预谋的”——因为题目中的“三条垂线段”就是露出的马脚!同样的,上次咱们留下的下面这几道经典的题目,就很有代表性,也是用到了“高不离积”的策略的:
例6、如图1,若△ABC为边长为a的正三角形,点P为△ABC内部的任意一点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,求证:PD+PE+PF为定值;
【解析】这道题目,也有个非常显著的特征——有三条垂线段!是以可以用面积法。
其实,这道题,我们还可用“特值法”搞定(详见《冲刺十招》第一招“绝境逢生用'特值’”)。
我们甚至还可以将这道题目升一下级,也就是上一篇文章的课后第3小题,即下面的探究问题:
例7、若P为边长为a的正△ABC为所在平面内任意一点,点P到△ABC三条边AB、BC、AC的距离PD、PE、PF的长分别为h1、h2、h3,正△ABC的高为h,试探究h1、h2、h3和h之间的关系......
【解析】这则要分以下几种情况讨论:
(1)如图1,若点P在△ABC内部,则h1+h2+h3=h;——证明同上,略。
(2)如图2,若点P在△ABC上(h1、h2、h3有一个或两个为0),则h1+h2+h3=h;——证明同上,略。
(3)如图3,若点P在△ABC外,则h2+h3-h1=h;——证明同上,略。
(4)如图4,若点P在△ABC外,则h1+h2-h3=h;——证明同上,略。
(5)如图5,若点P在△ABC外,则h1+h3-h2=h;——证明同上,略。
上次的练习第4题虽然不难,但也很有代表性:
例8、(2020青海)如图6,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则△ABC的内切圆半径r= .
干净利索,避免了反复运用勾股定理或用相似构造方程的繁琐计算,也是很有特色的。
还可以在什么时候可以用面积法?欢迎大家交流分享自己的经验!
联系客服