知识解读
圆周角是指顶点在圆心，并且两边都与圆相交的角，它是圆中最灵活多变的角，也是解决圆中相关问题最活跃的元素之一．
常常用到以下定理：
①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
②同弧或等弧所对的圆周角相等；
③同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；
④直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
⑤圆内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角．
典例示范
例5如图1－4－13，△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC．
（1）求证：△BDF∽△CEF；
（2）若a＝4，设BF＝m，四边形ADFE的面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时，S取最大值；
（3）已知A，D，F，E四点共圆，已知tan∠EDF＝
（辅助线作法见文末）
【提示】（1）只需找到两组对应角相等即可；
（2）四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和，借助三角函数用m表示出AD，DF，AE，EF的长，进而可以用含m的代数式表示S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题；
（3）易知AF就是圆的直径，利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF．在△AFC中，知道tan∠EAF，∠C，AC，通过解直角三角形就可求出AF长．
【解答】
拓展训练
已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为G，E是直径AB上一动点（不与点A，B，G重合），直线CF交直线AB于点P，设⊙O的半径为r．
（1）如图1－4－14①，当点E在直径AB上时，求证：OE·OP＝r²；
（2）如图1－4－14②，当点E在直径AB（或BA）的延长线上时，以图中点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（辅助线作法见文末）
【提示】（1）要证等积式，需要将其化为比例式，再利用相似证明．观察图形，此题显然要连半径OF，构造OE，OP所在的三角形，这样问题便转化为证明△FOE∽△POF了．而要证明△FOE∽△POF，由于已经存在一个公共角，因此只需再证明另一角对应相等即可，这一点利用圆周角定理及其推论可获证，且方法不唯一；
（2）同（1）类似．
【解答】
拓展提升
例6如图1－4－15，已知ABCD为⊙O的内接四边形，E是BD上一点，且有∠BAE＝∠DAC．
求证：（1）△ABE∽△ACD；
（2）AB·DC＋AD·BC＝AC·BD．
【解答】
例题五图解如下：
拓展训练图解如下：
联系客服
