初中数学几何专题:截长补短,
3.如图,已知DE=AE,点E在BC上,AE⊥DE,AB⊥BC,DC⊥BC,请问线段AB,CD和线段BC有何大小关系?并说明理由.
解:线段AB,CD和线段BC的关系是:
BC=AB+CD.
理由:在△DCE中,
∠EDC+∠DEC=90°,
∵∠AEB+∠DEC=90°,
∴∠AEB=∠EDC,
又∵ED=AE,∠ABE=∠ECD=90°,
∴△ABE≌△ECD(AAS),
∴AB=EC,BE=CD,
∴BC=BE+EC=CD+AB.
4.如图,AB∥CD,BE,CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线,点E在AD上.
求证:BC=AB+CD.
证明:在BC上取点F,使BF=BA,连接EF,如图,
∵BE,CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线,
∴∠ABE=∠FBE,∠ECF=∠ECD.
∴△ABE≌△FBE(SAS),
∴∠A=∠BFE,
∵AB∥CD,
∴∠A+∠D=180°,
∴∠BFE+∠D=180°.
∵∠BFE+∠EFC=180°,
∴∠EFC=∠D.
∴△CDE≌△CFE(AAS),
∴CF=CD.
∵BC=BF+CF,
∴BC=AB+CD.
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC,∠B=∠CAB=45°,AD平分∠BAC交BC于D,
求证:AB=AC+CD.
证明:如图,延长AC到E,使CE=CD,连接DE.
则∠E=∠CDE=45°,
∴∠B=∠E.
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
在△ABD和△AED中,
∠B=∠E,∠2=∠1,AD=AD,
∴△ABD≌△AED(AAS).
∴AE=AB.∵AE=AC+CE=AC+CD,∴AB=AC+CD.
6.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB,AD,CE交于O.
(1)求∠AOC的度数;
(2)求证:AC=AE+CD.
(1)解:∵∠ABC=60°,AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB,
∴∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=180°-2(∠BAC+∠ACB)=180°-2=120°;
(2)证明:∵∠AOC=120°,
∴∠AOE=60°,如图,在AC上截取AF=AE,连接OF,
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,
∵AO=AO,∴△AOE≌△AOF(SAS),∴∠AOE=∠AOF,
∵∠AOE=60°,∠AOC=120°,
∴∠AOF=∠COD=∠COF=60°.
∵∠FOC=∠DOC,CO=CO,∠DCO=∠FCO,
∴△COF≌△COD(ASA),∴CF=CD,∴AC=AF+CF=AE+CD.
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