好题分享：求直角三角形面积

题目一

常规思路一

由切线长定理设CE=CF=x，AE=AD=5，BF=BD=9，

再由勾股定理列出方程求出x，即可求出AC和BC两直角边长，进而求出直角三角形的面积。

当然，本题中可以不求出x，利用整体代换简化计算，这是常用的代数技巧。

常规思路二

要求Rt△ABC的面积即相当于求2条直角边长的积，再从条件中找2条直角边的关系，可得解法二，也是我看完题首选的做法。

之前的思路是从条件入手顺推，这次是从待求结论出发。很多难题往往是两头凑，慢慢寻找中间的桥梁。

题目不难，很多中学生可以做出来，但也就到此为止了。为什么有人刷少量的题就可以轻松地举一反三，有人却深陷题海战术？

我的建议是：不要满足于做出正确的答案，多想想能不能改变下条件，能不能把结论扩展，还有没有其他解题思路。积极思考，大胆猜想，小心求证。

条件给出两段线段长5和9，求出面积45恰恰就是5x9，这是巧合吗？如果不是巧合，那给出线段长m和n，是否可以证明S=mn？

网上搜索了一下，本题应该是出自2018年南京中考压轴题，和我做完题的想法不谋而合。

扩展的结论用之前的代数方法不难证明，这里再给出两种面积割补的解法。

几何解法的特点就是直观易懂，如果严格写出过程其实步骤也不少。几何解法难在技巧性强，但正因为如此，想出解法的心理满足感也特别强，可以充分体会思考的乐趣。

割补思路一

从面积法的角度，m和n的积很自然会想到构造长宽分别为m和n的矩形，尝试过以BD或BF为长边构造，感觉不好。而一旦想到AE和BF平移构成的矩形，直觉就感觉有了，后面无非就是通过逻辑补充证明的细节。

割补思路二

对于直角三角形，弦图是常用的构造。本题中，两直角边长的差等于斜边两线段长的差是联想到弦图的关键信息，当然前提还是需要熟悉弦图的模型。

对于初中生学习平面几何，掌握核心模型很重要，一定要深入理解、熟练运用。

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