菱形弦图的一点思考

今天的标题捅了一个新词:菱形弦图. 这是因为鞍山姜老师提供的题目引发了我的思考,在思路寻找的过程中,类比了正方形中的弦图,从中找到了解决问题的办法.

在边长为4的菱形ABCD中,点E为BC的中点,点F为CD边上一点,连接AE,BF,交点为G,∠AGB＝∠C＝45º,点M为AE上一点,点N为BF上一点,连接MN,若AM:ME＝NF:BN＝1:2,求MN的值.

仔细品读题目你会发现问题的条件似乎有些分散,线段MN位于图形的中间,有层次的思考无从展开.

于是我从作图入手:按照要求画菱形,找到线段BC的中点,以AB为斜边构造等腰直角三角形ABK,以K为圆心,KA为半径作圆K交AE于点G,接下来确定M,F,N.

图形精美,但从中没有找到解题的入口.

回看题目,将图形动起来,在∠C从锐角变化到直角的过程中,点K始终在过点B与BC垂直的射线上运动,若∠C等于90º,则变成特殊菱形:正方形,于是得到下图:

这意味着解决了正方形条件下求MN的问题也就解决了菱形问题.

上述图形给我们提供的方案是△ABE关联△BCF,延长BM交AD于点T,TF成为MN的替代线段,解△TDF即可.

回到菱形的问题上来,唯一的变化需要构造△BFQ相似于△AEB,解三角形DTF,求得TF为√29,问题彻底解决.

上述内容呈现的是对这个问题完整的思考过程,数学思想起到了关键作用,数学解题的根在思想.