群里有人发了份本地某中学的初三卷，据说“很难”、“学生都哭了”。今天就来评点下最后两道压轴题的思路。
几何压轴的第一小题，首先是掌握特殊角度的三角函数值，tan∠ABC=1⇒∠ABC=45°。即便记不清，只要理解正切的概念，RtΔACB中，tan∠ABC=AC:BC=1，即ΔACB为等腰直角三角形，同样可推出∠ABC=45°。
再看待证结论∠ECD<45°，注意到RtΔCED，于是结论等价于证明∠CDE>45°，而∠CDE作为外角显然大于∠ABC，这小题还是比较简单的。
基本模型要熟悉
等腰直角三角形，垂直......读题看图时，已经有一些熟悉的图形浮现在我的脑中，比如弦图、正方形中的十字架。等看到待证结论时，证明思路自然就出现了：
构造全等⇒平行⇒相似成比例
从结论开始分析
如果对基本模型还不够熟悉，那就要学会去分析题目，首先看结论。待证的是个比例式，常见的就是平行(相似)成比例。
结合线段在图形中的位置，一种思路就是如下图过B作AC的平行线，与CE延长线交于G，其实就是刚才的十字架，只是证明顺序有点区别：
作平行线⇒相似成比例+全等
也可以如下图过B点作CE的平行线⇒BE:EF=CG:CF
那么等价于证明CD=CG，这就是基础的全等证明，不多说了。
拿出你的量角器
再来看第二小题，我的建议是马上拿出量角器，量下∠CEF和∠ABC。既然要用∠ABC的正切值表示∠CEF的正切值，那么这两个角显然有某种联系。
测量完我们可以大胆猜测两个角互余，这就有了思考的方向。建议自己先思考，再来参考本小镇做题家的思路。
显然∠CEF和∠3互余，欲证∠CEF和∠ABC互余，等价于证明∠3=∠ABC。
而∠3=∠1+∠4，∠ABC=∠1+∠2，欲证∠3=∠ABC，等价于证明∠2=∠4 。
而∠2=∠4 ，明显有ΔBDE∽ΔADB。要证相似，有公共角，那么需证夹公共角的对应边成比例：
BD:DE=AD:BD
再看看还有什么条件，D是BC中点，BD=CD，即需证：
CD:DE=AD:CD
而图中下侧就是常见的相似直角三角形，ΔCDE∽ΔADC，即可推出上面的比例式。思路通了，再反过来从条件出发书写证明，这种证法都不需要添加辅助线。
如何作辅助线
当时我是躺床上用手机看这道题，没有条件用量角器，那么要求∠CEF的正弦值，自然需要有一个包含∠CEF的直角三角形，这就是作辅助线的出发点。
从图上看，可以过F做CE的垂线，或者过C作CE的垂线。再结合条件观察，显然后者更合适。
作出辅助线后易知DE∥CG，而BD=CD，由平行线分线段成比例推出BE=EG，DE即中位线，所以
tan∠CEF=CG:CE=2DE:CE=2tan∠1
易知∠1=∠2且D为BC中点，所以
tan∠CEF=2tan∠2=2CD:AC=BC:AC
而tan∠ABC=AC:BC=a，所以
tan∠CEF=1/a
再来看看函数的压轴题
第1小题将A、C两点坐标代入抛物线解析式，联立方程求解即得 y=½ x²+2x
第2小题，SΔABP=a 是定值，由A、C两点坐标可以确定AC直线方程，继而求出B点坐标，则AB也是定值，所以AB边的高h亦为定值。
则点P在距离AB为h的平行线上，显然在AB上侧的平行线与抛物线有2个交点，所以在AB下侧的平行线与抛物线恰有1个交点。
AB直线方程是一次函数 y=x+4，设其平行线为y=x+b，与抛物线恰有一点交点即联立方程恰有一个解，配个方即得
(x+1)²=2b+1
所以b=-½，平行线y=x-½与X轴交点D(½,0)，由等积变形即得：
a=SΔABP=SΔABD=½ AD·OB=9
第3小题我觉得出得不好，中考显然不会出这么难的作图题，如果不知道阿氏圆，我觉得没几个学生可以做出来，难怪“学生都哭了”。
现在的初中几何和我们当年相比，删减了不少内容，但考试内容卷太多了。我都是后来听群里老师说了阿氏圆，去网上查了才了解。
因为不了解阿氏圆，我做的时候也绕了点弯路，还是讲一讲，毕竟这才是正常的解题过程：
分析-联想-尝试-失败-转换思路-再尝试(循环)-解决
首先画图分析抛物线上满足条件的D点，DA:DO=2，联想到角平分线定理，AO的三等分点E可以作出，且DE为角平分线，但思考了一会没想出如何利用角平分线。
于是换个思路，看看能不能找出到AO两点距离比为2的点D轨迹，画出轨迹与抛物线相交即可。于是想到三个满足要求的点：AO的三等分点E、y轴上与A形成正三角形的F和G。
那么轨迹会不会是折线EF和EG呢？在EF上截取OK=OE=a，AK显然大于AE。只有K点略向左平移，AK变小OK变大才可能比为2。至此，我已经有了猜测，D点的轨迹是个圆。
由对称性，圆心T显然在X轴上，易知∠OEF=60°且TE=TF，从而推出OT=a，半径为2a。
再来验证一下，圆上任一点F'，易得
TF':OT=AT:TF'=2
再加上公共角OTF'，有ΔOTF'∽ΔF'TA
从而AF':OF'=2
确实圆上的点都满足要求。
为什么说绕了弯路？
因为开始只想到AO的定比内分点，没想到AO的定比外分点。我们当年的教材里是有角平分线定理的，而且分内角平分线定理和外角平分线定理。
角平分线定理的逆命题也成立，证明方法相似，差别主要是前者是用等角对等边，后者是用等边对等角。
那么看下图，设E、F分别为AB的定比内分点和外分点，
AD:BD=AE:BE=AF:BF=t (t≠1)
由角平分线定理的逆定理有：
∠1=∠2，∠3=∠4⇒∠EDF=90°
由泰勒斯定理的逆定理，D就在以EF为直径的圆上。
这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
回到原题，要作图找出AO的三等分点E，一种是通用的等分线段的方法。任意作条射线AT，在AT上任取点A1，依次截取AA1=A1A2=A2A3，连接A3O，过A2作A3O的平行线，由平行线分线段成比例定理可知，其与AO的交点E即为所求的三等分点。
第二种利用三角形重心的性质，比如作出AB的中点D和B关于O的对称点B'，其与AO交点为E，显然E为ΔABB'重心，即为所求的三等分点。
之后作出E关于O的对称点T，以T为圆心，ET为半径作圆与抛物线相交，交点即为所求。
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