专题 角的关系求点的坐标

“由角的关系求点的坐标”这类问题一般要将其转化成线段相等或者线段成比例的关系。然后利用相似三角形或者联立函数解析式的方法求点的坐标。

【分析】：首先将角的关系（∠APQ=2∠ACO）转化为线段之间的关系（EA=EC），转化的过程中尽可能的让已知条件中的角聚合在一起，在本题中∠APQ与∠ACO相隔“太远”，因此要尝试将它们之间的“距离”拉近一些（∠APQ=∠ACO）；其次利用线段相等（EA=EC）求点的坐标。求出点E的坐标后有两种路径：一是求出直线AE的函数解析式与二次函数联立（代数方法），二是利用三角形相似的性质对应边成比例（几何方法）。

【分析】：本题中要将角的关系进一步转化为三角形的一个外角与其内角的关系，从而得到线段相等（BC=BD）。

【分析】分类讨论，①当点P在x轴上方抛物线上时，得到∠CBA=∠OCE，然后利用三角函数值或者相似三角形求出点E的坐标，进一步求出直线CE的函数解析式，联立二次函数求出点P的坐标。

【分析】分类讨论，①当点P在x轴下方抛物线上时，得到∠CBA=∠OEC，然后得到OE=OB，从而求出点E的坐标，进一步求出直线CE的函数解析式，联立二次函数求出点P的坐标。

【分析】先根据两点间的距离公式求出线段的长度或者长度的平方，然后判断三者之间的关系，从而判断三角形的形状。

【分析】分为两种情形：①点M在x轴上方抛物线上，②点M在x轴下方抛物线上。如果不考虑点M的位置可以用绝对值表示线段的长度（MN与BN）。在直角三角形中，角相等所对应的三角函数值也相等，建立等量关系求解；或者利用相似三角形的性质对应边成比例求解。